4. jūnijs - MATEMĀTIKA
EKSĀMENS 9. KLASEI

Satura rādītājs:

Materiāli skolotājiem

Numurs Nosaukums Apraksts
1. Satura rādītājs
2. MIP programmā un valsts standartā Atsauces uz valsts standartu un Skola2030 programmu.
3. Kvadrāta sadalīšana n kvadrātos Pierāda, ka jebkuru kvadrātu var sadalīt vismaz 6 kvadrātos.
4. Atbalsts skolotājam. MIP. Kubiskas izteiksmes dalīšanās ar 6. Lieto kubu formulu. Zina, ka n(n+1) ir pāra skaitlis un dalās ar 2.
5. Atbalsts skolotājam. MIP. Bezgalīga summa ar daļām Vienādības ar bezgalīgu daļveida izteiksmi pierādīšana. Vienkārša situācija. Pārveido abas vienādības puses, atrodot kopsaucēju un atverot iekavas. 8 līdzvērtīgi piemēri mācību stundai.
6. Atbalsts skolotājam. MIP. Bezgalīga summa ar pakāpēm. Divi diferencēti piem. Pirms iekavām iznes skaitli 2 (vai 4) un pievieno to 2 (vai 4) pakāpei.
7. Atbalsts skolotājam. MIP. Nevienādības pierādīšana Pierāda vispārīgo gadījumu, ka (1+t)^n >=1+nt. Idejas daudz uzdevumiem, ja t ir skaitlis.
8. Atbalsts skolotājam. MIP. Nevienādība ar kvadrātsakni Daļa mazāka par iracionālu izteiksmi. Ieteikums pierādīt vēlāk algbras kursā.
9. MIP uzdevumu apkopojums Uzdevumi.lv pieminēto vai atrisināto MIP uzdevumu apkopojums. Bez ģeometrijas.

Teorija

Numurs Nosaukums Apraksts
1. Matemātiskā indukcija formulu, teorēmu un paņēmienu lapā Informācija, kādus uzziņas avotu skolēni varēs lietot stundās un eksāmenā.
2. Ko nozīmē pierādīt teorēmu Lai pierādītu, ka vispārīgais apgalvojums nav patiess, pietiek ar vienu pretpiemēru. No tā, ka daži atsevišķie apgalvojumi ir patiesi, nesecina, ka ir patiess vispārīgais apgalvojums.
3. Pierādi teorēmu par kvadrātu skaitu Pierāda, ka katru kvadrātu var sagriezt n kvadrātos (n>5), parādot algoritmu, kā to izdarīt.
4. Matemātiskās indukcijas princips Metodes apraksts.
5. Dalīšanās pierādīšana ar MIP. 1. veids Naturālu skaitli izsaka kā cits skaitlis +1, pierādot, ka 8^n -1 dalās ar 7.
6. Dalīšanās pierādīšana ar MIP. 2. veids Pie izteiksmes pieskaita un atņem naturālu skaitli, pierādot, ka 25^n -1 dalās ar 24.
7. MIP ģeometrijā. Kartes krāsošana Pierāda apgalvojumu: Jebkuru karti, kuru sadala n taisnes, var iekrāsot ar divām krāsām.
8. MIP ģeometrijā. Daudzstūra leņķu summa Pierāda, ka n-stūra leņķu summa ir 180(n-2).
9. Matemātiskā indukcija. Bezgalīgas summas formula Pierāda, ka 1+3+5+7+…+(2n-1)=n^2. parādīta ģeometrsikā interpretācija. Dots vēl 1 piemērs patstāvīgam darbam.
10. Matemātiskā indukcija. Bezgalīga summa ar daļām I Algebrisku daļu summas formula. Vienkārša situācija - veido kopsaucēju un atver iekavas. Doti vēl 2 piemēri patstāvīgam darbam.
11. Matemātiskā indukcija. Bezgalīga summa ar daļām II Algebrisku daļu summas formula. Veido kopsaucēju un iznes pirms iekavām kopīgo reizinātāju (k+1). Doti vēl 2 piemēri patstāvīgam darbam.
12. Nevienādības pierādīšana ar matemātisko indukciju Divas reizes lieto MIP. Sarežģīts piemērs. Ieteicams pildīt vēlāk pie algebras tematiem. Dots vēl 1 piemērs patstāvīgam darbam.

Uzdevumi

Numurs Nosaukums Tips Grūtības pakāpe Punkti Apraksts
1. Matemātiskās indukcijas princips. Soļi 1. izziņas līmenis zema 1 p. Izvēlas 4 darbības soļus.
2. Matemātiskās indukcijas princips, A(1) 1. izziņas līmenis zema 3 p. Zina MIP vispārīgo formulējumu. Nosaka bezgalīgas summas A(1) patiesumu.
3. Matemātiskā indukcija. A(1) pārbaude 1. izziņas līmenis zema 2 p. Dalīšanās. Pārbauda, vai A(1) izpildās.
4. Ar MIP pierāda an(n+1) dalīšanos ar 2a 2. izziņas līmenis vidēja 3 p. Vienkāršs MIP piemērs. Ievēro, ka nevajag atvērt abas iekavas.
5. Dalīšanās pierādīšana ar MIP I 2. izziņas līmenis vidēja 7 p. Pierāda ar skaitļiem, ka a^n -1 dalās ar a-1. Lieto pakāpju reizinājumu. Izmanto ideju, ka skaitli var izteikt kā divu skaitļu summu m=(m-1)+1. Daudz variantu.
6. Dalīšanās pierādīšana ar MIP II 2. izziņas līmenis vidēja 7 p. Pierāda ar konkrētiem skaitļiem, ka a^2n -1 dalās ar (a^2-1). Izmanto ideju, ka pieskaita un atņem vienu un to pašu skaitli. Daudz variantu.
7. Dalīšanās pierādīšana ar MIP III 3. izziņas līmenis augsta 5 p. Pierādot, ka a^(2n+1)+1 dalās ar (a+1), pie izteiksmes pieskaita un atņem naturālu skaitli. Daudz variantu.
8. Ar MIP pierāda izteiksmes dalīšanos ar 27 3. izziņas līmenis augsta 8 p. Papildina pierādījumu, ka 10^n+18n-28 dalās ar 27. Mākslīgs pārveidojums - pieskaita un atņem monomus. Uzdevumā skaitļi nemainās.
9. Vingrinājums. Nepāra skaitļu reizināšana un saskaitīšana 1. izziņas līmenis zema 2 p. Zina, ka nepāra skaitlis plus nepāra skaitlis ir pāra skaitlis. Nepāra skaitlis reiz nepāra skaitlis ir nepāra skaitlis.
10. Vingrinājums. Pāra un nepāra skaitļi 1. izziņas līmenis zema 2 p. Izdara secinājumus par pāra un nepāra skaitļiem. nepāra skaitlis reiz nepāra skaitlis = nepāra skaitlis. nep.+ nep. = pāra skaitlis.
11. Ar MIP pierāda pakāpju summas dalīšanos 3. izziņas līmenis augsta 7 p. Divu nepāra skaitļu pakāpju summas dalīšanās ar 4. Prot izteiksmē atdalīt induktīvo pieņēmumu. Daudz variantu.
12. Ar MIP pierāda starpības dalīšanos 3. izziņas līmenis augsta 7 p. Papildina pierādījumu, ka a^2n-bn-1 dalās ar konkrētu skaitli. Uzdevumam vairāki varianti.
13. MIP ģeometrijā. Interesants uzdevums par perimetru 3. izziņas līmenis augsta 7 p. Izliektu daudzstūri pilnībā pārklāj cits daudzstūris. Jāpierāda, ka iekšējā daudzstūra perimetrs nepārsniedz ārējā daudzstūra perimetru.
14. Ar MIP pierāda bezgalīgas summas ar daļām formulu 2. izziņas līmenis vidēja 5 p. Papildina pierādījumu. Pārveido abas izteiksmes puses, atrod kopsaucēju, atver iekavas. Vienkāršs. Viens pamatvariants.
15. Vingrinājums. Reizinātāja iznešana 1. izziņas līmenis zema 1 p. Sadala izteiksmi reizinātājos. Kopīgais reizinātājs ir iekavas kvadrāts. Vingrinājums atbilst nākošajam uzdevumam.
16. Ar MIP pierāda bezgalīgas kubu summas formulu 3. izziņas līmenis augsta 7 p. Trešo pakāpju summa. Iznes pirms iekavām kopīgo reizinātāju 4 un (k+1)^2. Neizmanto kubu formulu. Viens pamatvariants.
17. Ar MIP pierāda nevienādību ar pakāpi 3. izziņas līmenis augsta 6 p. Pierāda, ka a^n >=1+(a-1)t. Ideja - induktīvā pieņēmuma izteiksmes abas puses reizina ar skaitli. Daudz variantu.
18. Vingrinājums. Faktoriāla izpratne 1. izziņas līmenis zema 2 p. Skaitļa faktoriāls. Faktoriāla pieraksts, pārveidojumi.
19. Nevienādība ar faktoriālu. MIP 3. izziņas līmenis augsta 6 p. Pierāda, ka 2n> n!. Ievietošanas uzdevums.

Papildu uzdevumi (slēpti no skolēniem)

Numurs Nosaukums Tips Grūtības pakāpe Punkti Apraksts
1. Divu pēc kārtas ņemtu locekļu dalīšanās I Citi vidēja 3 p. Pierāda, ka pēc kārtas ņemtas a pakāpes dalās ar a+1. Daudz variantu.
2. Pēc kārtas ņemtu divnieka pakāpju dalīšanās Citi vidēja 1 p. Pierāda, ka vairākas (no 3-8) pēc kārtas ņemtas 2 pakāpes dalās ar 2^n-1. Uzdevumam 6 varianti.
3. MIP. Soļu nosaukumi Citi zema 1 p. Zina MIP soļu nosaukumus
4. A(1) pārbaude Citi zema 2 p. Pārbauda, vai A(1) izpildās. Apgalvojums par dalīšanos.
5. Ar MIP pierāda, ka a(n^2-n) dalās ar 2a Citi vidēja 4 p. Vienkāršs MIP piemērs.
6. Dalīšanās pierādīšana ar MIP Citi vidēja 7 p. Pierāda ar skaitļiem, ka a^n -1 dalās ar a-1. Izmanto ideju, ka pieskaita un atņem vienu un to pašu skaitli. Daudz variantu.

Testi

Numurs Nosaukums Ieteicamais ilgums: Grūtības pakāpe Punkti Apraksts
1. Ar MIP pierāda dalīšanos 00:25:00 vidēja 14 p. Pierādījumus papildina ar skaitļiem vai burtiem. Ir izpratne par darbībām ar pāra un nepāra skaitļiem.
2. Ar MIP pierāda nevienādību 00:30:00 augsta 11,5 p. Papildina pierādījumu.

Mājasdarbu testi (slēpti no skolēniem)

Numurs Nosaukums Ieteicamais ilgums: Grūtības pakāpe Punkti Apraksts
1. Dalīšanās pierādīšana ar MIP 00:20:00 vidēja 21 p. Papildina pierādījumu. Pamatprasmes.
2. Ar MIP pierāda bezgalīgas summas formulas 00:30:00 augsta 16 p. Papildina pierādījumu.