Dalīšanās pierādīšana ar MIP II — uzdevums. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 11. KLASEI"

Pierādi, ka jebkuram naturālam skaitlim \(n\) izteiksme

20^{2 n} - 1

dalās ar 399.

Pierādījums

Apgalvojums \(A(n)\) - izteiksme

20^{2 n} - 1

dalās ar 399 jebkurai naturālai \(n\) vērtībai.

1) Indukcijas bāze.

Izteikums \(A(1)\) ir patiess, jo

i^{2} - i = i

, kas dalās ar .

2) Induktīvais pieņēmums.

Pieņemsim, ka brīvi izvēlētam naturālam skaitlim \(k\) izteikums \(A(k)\) ir patiess, t.i.,

i^{i} - i

dalās ar .

3) Induktīvā pāreja.

Pierādīsim, ka patiess ir izteikums \(A(k+1)\), t.i.,

i^{2 k + i} - i

dalās ar .

Pielietojot pakāpju īpašību

a^{n + m} = a^{n} \cdot a^{m}

, iegūst, ka

20^{2 k + 2} - 1 = i {\cdot 20}^{i} - i

Lai varētu izmantot induktīvo pieņēmumu, no izteiksmes atņemsim un arī pieskaitīsim skaitli 400, izveidosim nepieciešamās iekavas:

\begin{array}{l} 20^{2 k} \cdot 20^{2} \underline{- 400} + \underline{i} - 1 = \\ = i (20^{2 k} - 1) + i \end{array}

Pārbaudām, vai iegūtā izteiksme dalās ar :

Tātad arī summa dalās ar .

Secinājums

Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.

Redzam, ka no izteikuma \(A(k)\) patiesuma seko \(A(k+1)\) patiesums.

Esam pierādījuši \(A(n)\) patiesumu visām \(n\) vērtībām.

Atradi kļūdu?

Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!

Ieiet portālā vai Reģistrēties

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 10. KLASEI"

6. Dalīšanās pierādīšana ar MIP II