Matemātikā ļoti svarīga ir izpratne par to, kad apgalvojumu uzskata par patiesu vai aplamu.
Lai pierādītu, ka vispārīgais apgalvojums nav patiess, pietiek konstatēt kaut vienu pretpiemēru. No tā, ka daži atsevišķie apgalvojumi ir pareizi, nedrīkst secināt vispārīgā apgalvojuma patiesumu.
Aplūkosim dažādas situācijas.
Apgalvojumus iedala atsevišķos un vispārīgos. Vispārīgie apgalvojumi kaut ko apgalvo par vairākiem skaitļiem (priekšmetiem, figūrām un tml.); atsevišķi apgalvojumi kaut ko apgalvo par vienu objektu.
Piemērs:
Atsevišķs apgalvojums - \(3\) nedalās ar \(11\).
Vispārīgs apgalvojums - neviens viencipara naturāls skaitlis nedalās ar \(11\).
Vispārīgu apgalvojumu vienmēr var izteikt, lietojot vienu vai vairākus parametrus.
Piemērā doto apgalvojumu var pierakstīt šādā formā:
ja \(n\) ir naturāls viencipara skaitlis, tad \(n\) nedalās ar \(11\).
Ievietojot dažādas parametra vērtības, iegūst atsevišķus apgalvojumus.
Katru no atsevišķiem apgalvojumiem varam attēlot ar rūtiņu; tad vispārīgais apgalvojums attēlojas ar "lenti", kas sastāv no \(9\) rūtiņām (zīm): pirmā rūtiņa atbilst apgalvojumam "\(1\) nedalās ar \(11\)", otrā rūtiņa - apgalvojumam "\(2\) nedalās ar \(11\)" utt.
\(n=1\) \(n=2\) \(n=3\) \(n=4\) \(n=5\) \(n=6\) \(n=7\) \(n=8\) \(n=9\)
Šādā veidā var attēlot jebkuru vispārīgu apgalvojumu, atkarībā no parametra vērtību kopas, šī "lente" būs galīga vai bezgalīga.
Pierādīt, ka atsevišķs apgalvojums ir patiess, parasti neskaidrības nerada, dotajā piemērā pārliecināmies, ka \(1\) ar \(11\) nedalās, \(2\) ar \(11\) nedalās, \(3\) nedalās ar \(11\), utt.
Ko nozīmē pierādīt, ka patiess ir vispārīgais apgalvojums?
Pierādīt vispārīgu apgalvojumu nozīmē pierādīt visus atsevišķos apgalvojumus, kurus var iegūt, ievietojot parametra vietā pieļaujamās vērtības.
Ja vispārīgā apgalvojuma parametra vērtību kopa ir galīga, tad ir iespējams uzrakstīt visus atsevišķos apgalvojumus un katru no tiem pierādīt. Tādā gadījumā katru pierādīto atsevišķo apgalvojumu uz "lentes" varētu attēlot kā iekrāsotu rūtiņu, ja visas rūtiņas aizkrāsotas - vispārīgais apgalvojums ir pierādīts.
Bet ko darīt, ja vispārīgā apgalvojuma parametra vērtību ir bezgalīgi daudz? Tad atsevišķos apgalvojumus pat nevar pierakstīt, kur nu vēl katru no tiem pierādīt. Piemēram,
- Ja ģeometriska figūra \(s\) ir taisnstūris, tad figūras \(s\) diagonāles ir vienāda garuma.
- Ja \(x\) ir naturāls skaitlis, kas beidzas ar \(0\), tad \(x\) dalās ar \(5\).
- Katram naturālam \(n\) skaitlis \(n(n+1)\) dalās ar \(2\).
Mēģināsim pierādīt kādu vispārīgu apgalvojumu.
Piemērs:
Pierādi, ka neviens naturāls skaitlis, kura pierakstā ir tikai vieninieki, nedalās ar \(7\).
"Lentes" sākums ar atsevišķajiem apgalvojumiem izskatās šādi:
Redzam, ka sestā rūtiņa nav aizkrāsota, jo \(111111:7 = 15873\). Secinām, ka vispārīgais apgalvojums nav patiess. Bet mums nebija nekādu cerību šādā veidā pierādīt, ka vispārīgais apgalvojums ir patiess.
Aplūkosim piemēru no ģeometrijas, kurā viegli nonākt pie aplama apgalvojuma.
Uz riņķa līnijas atliek \(n\) punktus un tos visus savieno ar hordām. Šīs
hordas sadala riņķi noteiktā skaitā daļu.
Uzzīmēsim dažus gadījumus un sakārtosim tabulā punktu skaitu un atbilstošo daļu skaitu.
Punktu skaits (\(n\)) | Daļu skaits | Novērojums |
\(1\) | \(1\) | |
\(2\) | \(2\) | |
\(3\) | \(4\) | |
\(4\) | \(8\) | |
\(5\) | \(16\) | |
... | ... | … |
Pēc piektā atsevišķā apgalvojuma gribētos izdarīt induktīvu spriedumu: daļu skaits, kādā riņķi sadala hordas, ir , kur \(n\) - punktu skaits uz riņķa līnijas.
Tomēr
1) atsevišķu apgalvojumu izpildīšanās nevar būt par pamatu vispārinājumam;
2) izskaitot daļu skaitu, ja \(n=6\), iegūst nevis \(32\), bet \(31\).
Tātad jāmeklē metode, kas balstās uz deduktīviem spriedumiem.
Svarīgi!
Lai pierādītu, ka vispārīgais apgalvojums nav patiess, pietiek konstatēt kaut vienu aplamu atsevišķo apgalvojumu (ko sauc par pretpiemēru). No tā, ka daži atsevišķie apgalvojumi ir patiesi, nevar secināt, ka ir patiess vispārīgais apgalvojums.
Matemātikā ir dažādi pierādīšanas paņēmieni, viens no tiem ir matemātiskās indukcijas princips.