Aplūkosim vispārīgu apgalvojumu: Jebkuru kvadrātu var sagriezt \(n\) kvadrātos, ja .
Šis ir vispārīgais apgalvojums, kuru veido bezgalīgi daudz atsevišķie apgalvojumi:
- Jebkuru kvadrātu var sagriezt \(6\) kvadrātos.
- Jebkuru kvadrātu var sagriezt \(7\) kvadrātos.
- Jebkuru kvadrātu var sagriezt \(8\) kvadrātos.
- Jebkuru kvadrātu var sagriezt \(9\) kvadrātos.
- …
- Jebkuru kvadrātu var sagriezt \(n\) kvadrātos.
Kā pierādīt bezgalīgi daudz atsevišķos apgalvojumus?
Viena no iespējām ir aprakstīt (parādīt) algoritmu, kādā veidā no patiesa atsevišķā apgalvojuma var iegūt nākošo patieso atsevišķo apgalvojumu.
Aplūkosim vienu no iespējamiem risinājumiem.
1) Sadalīsim kvadrātu sešos mazākos kvadrātos. Redzam, ka tas ir iespējams.
Ievērojam, ka mazo kvadrātu var sadalīt četros kvadrātos, tādējādi iegūstot par \(3\) kvadrātiem vairāk.
Šādi mēs varam rīkoties neierobežoti daudz reizes, iegūstot jaunu kvadrātu skaitu, kas ir tieši par \(3\) vairāk nekā iepriekšējais skaits.
Iegūto kvadrātu skaits ir \(6; 9; 12; 15; … \)
2) Sadalām kvadrātu septiņos mazākos kvadrātos. Redzam, ka to var izdarīt.
Var rīkoties tāpat kā iepriekš - mazo kvadrātu sadala četros kvadrātos, tādējādi iegūstot par \(3\) kvadrātiem vairāk.
Varam secināt, ka tādā veidā iegūto kvadrātu skaits ir \(7; 10; 13; 16;...\)
3) Sadalām kvadrātu astoņos mazākos kvadrātos. Redzam, ka to var izdarīt.
Mazo kvadrātu sadalot četros kvadrātos, iegūst par \(3\) kvadrātiem vairāk.
Varam secināt, ka tādā veidā iegūto kvadrātu skaits ir \(8; 11; 14; 17;...\)
Esam devuši algoritmu, jeb instrukciju, kādā veidā var iegūt jebkuru kvadrātu skaitu, sākot no \(6\) kvadrātiem. Tas nozīmē, ka visi atsevišķie apgalvojumi ir patiesi un patiess ir vispārīgais apgalvojums: Jebkuru kvadrātu var sagriezt \(n\) kvadrātos, ja .