Matemātiskā indukcija. Bezgalīga summa ar daļām II — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Aplūkosim piemēru, kurā nepārveido atsevišķi vienādības kreiso pusi un labo pusi, bet gan visu izteiksmi kopumā.

Piemērs:

Pierādīt, ka katram naturālam $n$ izpildās apgalvojums

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

Apzīmē doto apgalvojumu ar $A(n)$.

1) Indukcijas bāze. Pārbauda, vai izpildās $A(1)$

Ja $n=1$, tad

1^{2} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6}

. Redzams, ka vienādība ir patiesa

1 = 1

2) Induktīvais pieņēmums. Pieņemsim, ka fiksētam naturālam skaitlim $k$ apgalvojums $A(k)$ ir patiess, t.i.,

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} ... + k^{2} = \frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6}

3) Induktīvā pāreja. Izmantojot induktīvo pieņēmumu, pierādīsim atsevišķo apgalvojumu $A(k+1)$:

Jāpierāda, ka

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} ... + k^{2} + {(k + 1)}^{2} = \frac{(k + 1) (k + 2) (2 k + 3)}{6}

Izmanto induktīvo pieņēmumu, ka

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} ... + k^{2} = \frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6}

\begin{array}{l} \underset{⏟}{1^{2} + 2^{2} + 3^{2} ... + k^{2}} + {(k + 1)}^{2} \overset{?}{=} \frac{(k + 1) (k + 2) (2 k + 3)}{6} \\ \underset{⏟}{\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6}} + {(k + 1)}^{2} \overset{?}{=} \frac{(k + 1) (k + 2) (2 k + 3)}{6} \end{array}

Abas vienādības puses pareizina ar skaitli $6:$

\begin{array}{l} k (k + 1) (2 k + 1) + 6 {(k + 1)}^{2} \overset{?}{=} (k + 1) (k + 2) (2 k + 3) \\ k \underline{(k + 1)} (2 k + 1) + 6 \underline{(k + 1)} (k + 1) \overset{?}{=} \underline{(k + 1)} (k + 2) (2 k + 3) \end{array}

Redzam, ka pirms iekavām var iznest kopīgu reizinātāju $(k+1).$

(k + 1) (k (2 k + 1) + 6 (k + 1)) \overset{?}{=} (k + 1) ((k + 2) (2 k + 3))

Tā kā $k+1$ ir pozitīvs skaitlis jebkuram naturālam $k$, tad ar to drīkst izdalīt abas vienādības puses:

k (2 k + 1) + 6 (k + 1) \overset{?}{=} (k + 2) (2 k + 3)

Atveram iekavas:

\begin{array}{l} 2 k^{2} + k + 6 k + 6 \overset{?}{=} 2 k^{2} + 3 k + 4 k + 6 \\ 2 k^{2} + 7 k + 6 = 2 k^{2} + 7 k + 6 \end{array}

ko arī vajadzēja pierādīt.

Secinājums

Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.

Tāpēc pēc matemātiskās indukcijas principa vispārīgais apgalvojums $A(n)$ ir pierādīts.

Piezīme.

Ja neiznestu pirms iekavām izteiksmi $k+1$, vienādību varētu pierādīt, tikai būtu izteiksmes ar mainīgā trešo pakāpi.

Svarīgi!

Ieteikums: ja 3) solī izteiksmes labajā pusē redzi vismaz 3 iekavas, tad never vaļā iekavas, bet vispirms meklē vismaz vienu kopīgu reizinātāju.

Pamēģini pastāvīgi pierādīt, ka

a) $1 \cdot 2 + 3 \cdot 4 + ... + (2 n - 1) \cdot 2 n = \frac{n (n + 1) (4 n - 1)}{3}$ izpildās jebkuram naturālam $n$.

b) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + ... + n (n + 1) = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{3}$ izpildās jebkuram naturālam $n.$

Padoms - b) piemērā abām vienādības pusēm ir divi kopīgi reizinātāji (divas iekavas).

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja

Āboltiņa B., Kriķis D., Šteiners K., Matemātika 10. klasei, Rīga, Zvaigzne, 2011, izm. 106. lpp.

Grunsberga S., Stāmure L., Standartuzdevumi algebrā ar risinājumu piemēriem, 10. - 12. klase, Lielvārds, 2003. izm. 207.lpp.

Atradi kļūdu?

11. Matemātiskā indukcija. Bezgalīga summa ar daļām II