Matemātiskā indukcija. Bezgalīga summa ar daļām II — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 11. KLASEI"

Aplūkosim piemēru, kurā nepārveido atsevišķi vienādības kreiso pusi un labo pusi, bet gan visu izteiksmi kopumā.

Piemērs:

Pierādīt, ka katram naturālam $n$ izpildās apgalvojums

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

Apzīmē doto apgalvojumu ar $A(n)$.

1) Indukcijas bāze. Pārbauda, vai izpildās $A(1)$

Ja $n=1$, tad

1^{2} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6}

. Redzams, ka vienādība ir patiesa

1 = 1

2) Induktīvais pieņēmums. Pieņemsim, ka fiksētam naturālam skaitlim $k$ apgalvojums $A(k)$ ir patiess, t.i.,

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} ... + k^{2} = \frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6}

3) Induktīvā pāreja. Izmantojot induktīvo pieņēmumu, pierādīsim atsevišķo apgalvojumu $A(k+1)$:

Jāpierāda, ka

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} ... + k^{2} + {(k + 1)}^{2} = \frac{(k + 1) (k + 2) (2 k + 3)}{6}

Izmanto induktīvo pieņēmumu, ka

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} ... + k^{2} = \frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6}

\begin{array}{l} \underset{⏟}{1^{2} + 2^{2} + 3^{2} ... + k^{2}} + {(k + 1)}^{2} \overset{?}{=} \frac{(k + 1) (k + 2) (2 k + 3)}{6} \\ \underset{⏟}{\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6}} + {(k + 1)}^{2} \overset{?}{=} \frac{(k + 1) (k + 2) (2 k + 3)}{6} \end{array}

Abas vienādības puses pareizina ar skaitli $6:$

\begin{array}{l} k (k + 1) (2 k + 1) + 6 {(k + 1)}^{2} \overset{?}{=} (k + 1) (k + 2) (2 k + 3) \\ k \underline{(k + 1)} (2 k + 1) + 6 \underline{(k + 1)} (k + 1) \overset{?}{=} \underline{(k + 1)} (k + 2) (2 k + 3) \end{array}

Redzam, ka pirms iekavām var iznest kopīgu reizinātāju $(k+1).$

(k + 1) (k (2 k + 1) + 6 (k + 1)) \overset{?}{=} (k + 1) ((k + 2) (2 k + 3))

Tā kā $k+1$ ir pozitīvs skaitlis jebkuram naturālam $k$, tad ar to drīkst izdalīt abas vienādības puses:

k (2 k + 1) + 6 (k + 1) \overset{?}{=} (k + 2) (2 k + 3)

Atveram iekavas:

\begin{array}{l} 2 k^{2} + k + 6 k + 6 \overset{?}{=} 2 k^{2} + 3 k + 4 k + 6 \\ 2 k^{2} + 7 k + 6 = 2 k^{2} + 7 k + 6 \end{array}

ko arī vajadzēja pierādīt.

Secinājums

Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.

Tāpēc pēc matemātiskās indukcijas principa vispārīgais apgalvojums $A(n)$ ir pierādīts.

Piezīme.

Ja neiznestu pirms iekavām izteiksmi $k+1$, vienādību varētu pierādīt, tikai būtu izteiksmes ar mainīgā trešo pakāpi.

Svarīgi!

Ieteikums: ja 3) solī izteiksmes labajā pusē redzi vismaz 3 iekavas, tad never vaļā iekavas, bet vispirms meklē vismaz vienu kopīgu reizinātāju.

Pamēģini pastāvīgi pierādīt, ka

a) $1 \cdot 2 + 3 \cdot 4 + ... + (2 n - 1) \cdot 2 n = \frac{n (n + 1) (4 n - 1)}{3}$ izpildās jebkuram naturālam $n$.

b) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + ... + n (n + 1) = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{3}$ izpildās jebkuram naturālam $n.$

Padoms - b) piemērā abām vienādības pusēm ir divi kopīgi reizinātāji (divas iekavas).

Atradi kļūdu?

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 10. KLASEI"

11. Matemātiskā indukcija. Bezgalīga summa ar daļām II