Nākošā piemērā aplūkosim, kā atšķiras pierādījums, ja pārveido atsevišķi vienādības labo pusi un kreiso pusi vai vienlaicīgi pārveido abas vienādības puses.
Piemērs:
Pierādi, ka katram naturālam \(n\) izpildās apgalvojums 112+123+...+1n(n+1)=nn+1
Apzīmēsim doto apgalvojumu ar \(A(n).\)
 
1) Indukcijas bāze. Pārbaudām, vai izpildās \(A(1)\).
Ja \(n=1\), tad 112=11+1. Redzams, ka vienādība ir patiesa 12=12.
 
2) Induktīvais pieņēmums. Pieņemsim, ka fiksētam naturālam skaitlim \(k\) apgalvojums \(A(k)\) ir patiess, t.i.,
112+123+...+1k(k+1)=kk+1.
 
3) Induktīvā pāreja. Izmantojot induktīvo pieņēmumu, pierādīsim atsevišķo apgalvojumu \(A(k+1)\):
 
112+123+...+1k(k+1)+1(k+1)((k+1)+1)=k+1k+1+1 jeb, vienkāršojot,
jāpierāda, ka 112+123+...+1k(k+1)+1(k+1)(k+2)=k+1k+2 
Aplūkojam vienādības kreiso pusi:
 
112+123+...+1k(k+1)+1(k+1)(k+2)
 
Izmantojam induktīvo pieņēmumu, ka 112+123+...+1k(k+1)=kk+1
 
kk+1+1(k+1)(k+2)==kk+1(k+2+1(k+1)(k+2)==kk+2+1k+1k+2==k2+2k+1k+1k+2==k+12k+1k+2==k+1k+1k+1k+2=k+1k+2
ko arī vajadzēja pierādīt.
 
Secinājums
Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.
Tāpēc pēc matemātiskās indukcijas principa vispārīgais apgalvojums \(A(n)\) ir pierādīts.
 
UZMANĪBU!  
Aplūkosim, kā vēl varēja rīkoties 3) solī.
  
Var neaplūkot atsevišķi vienādības labo pusi un kreiso pusi, bet pārveidot abas vienlaicīgi.
 
3) Induktīvā pāreja. Izmantojot induktīvo pieņēmumu, pierādīsim atsevišķo apgalvojumu \(A(k+1)\):
 
112+123+...+1k(k+1)+1(k+1)((k+1)+1)=k+1k+1+1 jeb, vienkāršojot,
jāpierāda, ka 112+123+...+1k(k+1)+1(k+1)(k+2)=k+1k+2 
Pēc induktīvā pieņēmuma
112+123+...+1k(k+1)+1(k+1)(k+2)=?k+1k+2kk+1+1(k+1)(k+2)=?k+1k+2=kk+1(k+2+1(k+1)(k+2)=?k+1(k+1k+2=kk+2+1k+1k+2=?k+12k+2k+1=k2+2k+1k+1k+2=k+12k+2k+1
ko arī vajadzēja pierādīt.
 
Secinājums
Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.
Tāpēc pēc matemātiskās indukcijas principa vispārīgais apgalvojums \(A(n)\) ir pierādīts.
  
  
Pamēģini pastāvīgi pierādīt a) un b) piemērus, pārveidojot izteiksmi kopumā, nevis labo un kreiso pusi atsevišķi.
 
a) Pierādi, ka 123+134+...+1n+1n+2=n2n+2 izpildās jebkuram naturālam \(n\).
 
b) Pierādi, ka 114+147+...+13n23n+1=n3n+1 izpildās jebkuram naturālam \(n\).
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja
Āboltiņa B., Kriķis D., Šteiners K., Matemātika 10. klasei, Rīga, Zvaigzne, 2011, izm. 106. lpp.
Grunsberga S., Stāmure L., Standartuzdevumi algebrā ar risinājumu piemēriem, 10. - 12. klase, Lielvārds, 2003. izm. 207.lpp.