Ar MIP pierāda izteiksmes dalīšanos — uzdevums. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

Pierādi, ka izteiksmes

31^{n} + 5^{2 n} + 1

vērtība dalās ar \(3\) jebkuram naturālam \(n\).

Papildini doto pierādījumu!

Doto apgalvojumu apzīmē ar \(A(n)\).

1) Indukcijas bāze

Ja \(n=1\), tad

31^{1} + 5^{2 \cdot 1} + 1 = i

, dalās ar \(3\).

Apgalvojums ir patiess.

2) Induktīvais pieņēmums

Pieņemam, ka apgalvojums \(A(k)\) ir patiess, t.i.,

31^{k} + 5^{2 k} + 1

dalās ar \(3\).

3) Induktīvā pāreja

Pārbaudīsim, vai ir patiess apgalvojums \(A(k+1)\), t.i., pārbaudīsim vai

31^{k + 1} + 5^{2 (k + 1)} + 1

dalās ar 3.

31^{k + 1} + 5^{2 (k + 1)} + 1 =

i \cdot 31^{k} + i \cdot 5^{2 k} + 1

Pārveidojam šo izteiksmi tā, lai varētu izmantot induktīvo pieņēmumu:

\underline{31^{k} + 5^{2 k} + 1} + i {\cdot 31}^{k} + i \cdot 5^{2 k} =

= \underline{31^{k} + 5^{2 k} + 1} + 3 (i {\cdot 31}^{k} + i \cdot 5^{2 k})

Redzam, ka pirmais saskaitāmais dalās ar \(3\)

Arī otrais un trešasi saskaitāmais dalās ar \(3\), jo

tātad

Atbilžu varianti:

pēc induktīvā pieņēmuma

satur reizinātāju \(3\)

arī summa dalās ar \(3\)

Secinājums

Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.

Redzam, ka no izteikuma \(A(k)\) patiesuma seko \(A(k+1)\) patiesums.

Esam pierādījuši \(A(n)\) patiesumu visām \(n\) vērtībām.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja

Ieiet portālā vai Reģistrēties

Atradi kļūdu?

Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!

Ieiet portālā vai Reģistrēties

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

9. Ar MIP pierāda izteiksmes dalīšanos