Ar MIP pierāda izteiksmes dalīšanos — uzdevums. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Matemātika II - jauna tēma

"Analītiskā ģeometrija"

Pierādi, ka izteiksmes

25^{n} + 7^{2 n} + 1

vērtība dalās ar \(3\) jebkuram naturālam \(n\).

Papildini doto pierādījumu!

Doto apgalvojumu apzīmē ar \(A(n)\).

1) Indukcijas bāze

Ja \(n=1\), tad

25^{1} + 7^{2 \cdot 1} + 1 = i

, dalās ar \(3\).

Apgalvojums ir patiess.

2) Induktīvais pieņēmums

Pieņemam, ka apgalvojums \(A(k)\) ir patiess, t.i.,

25^{k} + 7^{2 k} + 1

dalās ar \(3\).

3) Induktīvā pāreja

Pārbaudīsim, vai ir patiess apgalvojums \(A(k+1)\), t.i., pārbaudīsim vai

25^{k + 1} + 7^{2 (k + 1)} + 1

dalās ar 3.

25^{k + 1} + 7^{2 (k + 1)} + 1 =

i \cdot 25^{k} + i \cdot 7^{2 k} + 1

Pārveidojam šo izteiksmi tā, lai varētu izmantot induktīvo pieņēmumu:

\underline{25^{k} + 7^{2 k} + 1} + i {\cdot 25}^{k} + i \cdot 7^{2 k} =

= \underline{25^{k} + 7^{2 k} + 1} + 3 (i {\cdot 25}^{k} + i \cdot 7^{2 k})

Redzam, ka pirmais saskaitāmais dalās ar \(3\)

Arī otrais un trešasi saskaitāmais dalās ar \(3\), jo

tātad

Atbilžu varianti:

ievērojot induktīvo pieņēmumu

arī summa dalās ar \(3\)

satur reizinātāju \(3\)

Secinājums

Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.

Redzam, ka no izteikuma \(A(k)\) patiesuma seko \(A(k+1)\) patiesums.

Esam pierādījuši \(A(n)\) patiesumu visām \(n\) vērtībām.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja

Ieiet portālā vai Reģistrēties

Atradi kļūdu?

Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!

Ieiet portālā vai Reģistrēties

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

9. Ar MIP pierāda izteiksmes dalīšanos