Aplūkosim MIP pielietojumu apgalvojumā par dalīšanos.
Piemērs:
Pierādi, ka katram naturālam skaitlim \(n\) izteiksme 8n1 dalās ar \(7\).
Apgalvojums \(A(n)\) - izteiksme 8n1 dalās ar \(7\) jebkuram naturālam \(n\).
 
1) Indukcijas bāze.
Izteikums \(A(1)\) ir patiess, jo \(8-1=7\), kas dalās ar \(7\).
 
2) Induktīvais pieņēmums.
Pieņem, ka brīvi izvēlētam naturālam skaitlim \(k\) izteikums \(A(k)\) ir patiess, t.i., 8k1 dalās ar \(7\).
 
3) Induktīvā pāreja.
Pierādīsim, ka patiess ir izteikums \(A(k+1)\), t.i., 8k+11 dalās ar \(7\).
Izmanto pakāpju īpašību an+m=anam
8k+11=8k811=88k1.
Svarīgi!
Ievēro, ka 88k=7+18k=78k+8k.
Tātad 88k1=78k¯+8k1¯¯
 
Pārbaudām, vai iegūtā izteiksme dalās ar \(7\):
  • 78k dalās ar \(7\), jo satur reizinātāju \(7\);
  • 8k1 dalās ar \(7\) pēc induktīvā pieņēmuma.
Tātad summa 78k+8k1 dalās ar \(7\).
 
Secinājums.
Redzam, ka no izteikuma \(A(k)\) patiesuma seko \(A(k+1)\) patiesums.
Esam pierādījuši \(A(n)\) patiesumu visām \(n\) vērtībām.
 
Vingrinies šeit.
 
Atsauce:
B. Āboltiņa, D. Kriķis, K. Šteiners. matemātika 10. klasei. Zvaigzne ABC
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja