Pierādi, ka katram naturālam \(n\) izpildās apgalvojums 
116+1611+...+15n4(5n+1)=n5n+1.
  
Papildini doto pierādījumu ar skaitļiem un/vai burtiem!
 
Doto apgalvojumu apzīmē ar \(A(n)\).
 
1) Indukcijas bāze. Izpildās \(A(1)\). Ja \(n=1\), tad
116=1i1+116=16
Redzams, ka vienādība ir patiesa.
 
2) Induktīvais pieņēmums. Pieņemsim, ka fiksētam naturālam skaitlim \(k\) apgalvojums \(A(k)\) ir patiess, t.i.,
116+1611+...+15k4(5k+1)=i5k+1
 
3) Induktīvā pāreja. Izmantojot induktīvo pieņēmumu, pierādīsim atsevišķo apgalvojumu \(A(k+1)\):
 
116+1611+...+15k4(5k+1)+15k+14(5k+1+1)=k+15k+1+1 jeb
 
116+1611+...+15k4(5k+1)+15k+i(5k+6)=k+15k+i
 
 
Izmantojot induktīvo pieņēmumu, iegūstam sekojošu vienādību, kuru jāpierāda:
i5k+1+15k+1(5k+6)=?k+15k+6
 
Atrodam kopsaucēju:
i(5k+65k+1+15k+1(5k+6)=?i+1(5k+15k+6k5k+6+15k+1(5k+6)=?k+15k+15k+65k+15k2+i+15k+1(5k+6)=5k2+i+15k+15k+6
 
Secinājums
Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.
Redzam, ka no izteikuma \(A(k)\) patiesuma seko \(A(k+1)\) patiesums.
Esam pierādījuši \(A(n)\) patiesumu visām \(n\) vērtībām.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja
Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!