4. jūnijs - MATEMĀTIKA
EKSĀMENS 9. KLASEI

Satura rādītājs:

Materiāli skolotājiem

Numurs Nosaukums Apraksts
1. Satura rādītājs
2. Skolotājam. Navigācija. Azimuts. Planimetrijas 1. ievada uzdevums. Azimuta noteikšana. Lieto sinusu un kosinusu teorēmu. Izmanto kalkulatoru.

Teorija

Numurs Nosaukums Apraksts
1. Planimetrija formulu lapās Kādus uzziņas avotu skolēni varēs lietot stundās un eksāmenā.
2. Planimetrija II dokumentos Atsauces uz standartu un Skola2030 programmu.
3. Ģeometrijas formulas optimālajam līmenim (matemātika I) 11. klases eksāmena formulas pēc SKOLA2030
4. Atkārtojums. Trigonometriskās sakarības taisnleņķa trijstūrī. Atkārto sakarības ar sin, cos, tg. trijstūris, kurā ir 30 grādi, vienādsānu taisnleņķa trijst;uris.
5. Kosinusu teorēma. Azimuts Patvaļīga trijstūra elementu aprēķināšana ar kosinusu teorēmu.
6. Pitagora un kosinusu teorēmas pierādījums ar vektoriem Izmanto vektoru skalāro reizinājumu.
7. Sinusu teorēmas pierādījums Sinusu teorēmas pierādījums ar laukuma formulām.
8. Eiklīda teorēma taisnleņķa trijstūrī. Pierādījums Ar trijstūru līdzību pierāda Eiklīda formulas. Piemērs.
9. Trijstūra laukuma formulas. Hērona formula Kopsavilkums par trijstūra laukuma formulām. 3 piemēri ar Hērona formulu.
10. Hērona formulas pierādījums Nav standarta prasība. Pierādījumā izmanto trijstūra laukuma formulu, kosinusu teorēmu, trigonometrisko vieninieku. Veic algebriskus pārveidojumus.
11. Trijstūra bisektrises īpašība. Pierādījums Standarta prasība. Īpašība, tās pierādījums un piemērs.
12. Mediāna, vienlieli trijstūri Trijstūra mediānas īpašība. Vienlieli trijstūri
13. Mediānas īpašības 2:1 pierādījums Standarta prasība. Krustpunktā dalās attiecībā 2:1, skaitot no virsotnes. Izmanto trijstūra viduslīnijas un paralelogramam pazīmes.
14. Rādiuss R sinusu teorēmā. Pierādījums Trijstūrim apvilktas riņķa līnijas rādiusa aprēķināšana. Teorēmas pierādījums.
15. Apvilktas riņķa līnijas R formulas pierādījums Secinājums no sinusu teorēmas un trijstūra laukuma formulas. R=abc/4S.
16. Formulas r=S/p pierādījums Pierādījums, kas balstās uz trijstūra laukuma formulas S=0,5ah izmantošanu.
17. Trijstūrim apvilkta un ievilkta riņķa līnija. Kopsavilkums Trijstūrim apvilktas un trijstūrī ievilktas riņķa līnijas rādiusa aprēķināšanas formulas.

Uzdevumi

Numurs Nosaukums Tips Grūtības pakāpe Punkti Apraksts
1. Pierāda Pitagora teorēmu 3. izziņas līmenis augsta 5 p. Papildina Pitagora teorēmas pierādījumu, pēc pazīmes pārbauda, vai trijstūris ir taisnleņķa.
2. Pitagora teorēma sadzīves situācijā 2. izziņas līmenis vidēja 3 p. Sastāda vienādojumu, ja diviem trijstūriem ir vienādas hipotenūzas. Lineārs vienādojums.
3. Pierāda kosinusa teorēmu 2. izziņas līmenis augsta 5 p. Papildina Kosinusa teorēmas pierādījumu, aprēķina trijstūra malu.
4. Patvaļīga trijstūra leņķis 2. izziņas līmenis vidēja 3 p. Lieto kosinusu teorēmu, izmanto kalkulatoru.
5. Eiklīda formulas I 1. izziņas līmenis zema 2 p. Atzīmē pareizās Eiklīda formulas.
6. Eiklīda formula II 2. izziņas līmenis vidēja 1 p. Aprēķina hipotenūzu, ja dota katete un tās projekcija.
7. Eiklīda formulas pielietojums 3. izziņas līmenis augsta 4 p. Risina sistēmu, izmanto Eiklīda formulu un Pitagora teorēmu. No katešu projekcijām iegūst hipotenūzas garumu.
8. Trijstūra bisektrises īpašība I 1. izziņas līmenis zema 2 p. Zina bisektrises īpašību.
9. Trijstūra bisektrises īpašības pierādījums 3. izziņas līmenis augsta 4 p. Papildina pierādījumu. Prot noteikt malas nogriežņu attiecību.
10. Trijstūra bisektrises īpašība II 1. izziņas līmenis zema 1 p. No proporcijas aprēķina trijstūra malu.
11. Trijstūra bisektrises īpašība III 2. izziņas līmenis vidēja 1 p. No divu malu garumiem un trešās malas nogriežņu starpības nosaka trešo malu.
12. Mediānas īpašība 1. izziņas līmenis zema 1 p. Zina, ka mediānas krustpunktā dalās 2:1.
13. Vienlielu trijstūru laukums 2. izziņas līmenis vidēja 1 p. Lieto laukuma formulu ar augstumu. Zina, ka mediāna laukumu dala uz pusēm.
14. Trijstūra leņķis no laukuma 2. izziņas līmenis vidēja 4 p. Sastāda vienādojumu, izmantojot laukuma formulu. No trigonometriskā pamatvienādojuma aprēķina leņķus. ( 2017.g eks.)
15. Hērona formula 1. izziņas līmenis zema 2 p. Aprēķina laukumu.
16. Trijstūra augstums no laukuma 2. izziņas līmenis vidēja 5 p. Izmantojot Hērona formulu un S=0,5ah.
17. Trijstūris un riņķis. Apgalvojumi 1. izziņas līmenis vidēja 1 p. Jēdzienu un likumu pārbaude par trijstūrim apvilktu un ievilktu riņķa līniju.
18. Apvilktas riņķa līnijas rādiuss 1. izziņas līmenis zema 2 p. Aprēķina R ar sinusa teorēmu.
19. Taisnleņķa trijstūra R un r 2. izziņas līmenis vidēja 4 p. Aprēķina apvilktas un ievilktas riņķa līnijas rādiusu. Atpazīst taisnleņķa trijstūra r formulu.
20. Patvaļīga trijstūra S, R, r 2. izziņas līmenis vidēja 3 p. Izmanto Hērona formulu.
21. Horda un rādiuss 3. izziņas līmenis augsta 1 p. Lieto trijstūrim apvilktas riņķa līnijas R formulu.
22. Trijstūrī ievilkta kvadrāta perimetrs 3. izziņas līmenis augsta 4 p. Izmanto taisnleņķa trijstūru līdzību.

Papildu uzdevumi (slēpti no skolēniem)

Numurs Nosaukums Tips Grūtības pakāpe Punkti Apraksts
1. Trijstūra bisektrises īpašība Citi zema 1 p. No malu garumiem nosaka nogriežņu attiecību.
2. Trijstūra laukums Citi zema 2 p. Dots paralelograms, izmanto laukumu ar sinusu.
3. Hērona formula Citi vidēja 2 p. Aprēķina laukumu.
4. Trijstūra bisektrise Citi vidēja 2 p. Dotas trīs malas. Nosaka nogriežņu garumus, kādos bisektrise sadala malu.
5. Tainleņķa trijstūris un riņķis Citi vidēja 3 p. Aprēķina R un r, ja dotas katetes.

Testi

Numurs Nosaukums Ieteicamais ilgums: Grūtības pakāpe Punkti Apraksts
1. Vienādojuma sastādīšana planimetrijā 00:30:00 augsta 11 p. Prasme satādīt un atrisināt vienādojumu. Pitagora teorēma, Eiklīda teorēma, trijstūru līdzības izmantošana
2. Pierādījumi par trijstūri 00:30:00 augsta 9 p. Prot papildināt pierādījumus. Kosinusu teorēma ar vektoriem, bisektrises īpašība ar sinusu teorēmu.

Mājasdarbu testi (slēpti no skolēniem)

Numurs Nosaukums Ieteicamais ilgums: Grūtības pakāpe Punkti Apraksts
1. Bisektrises īpašība 00:15:00 vidēja 9 p. Zina, pierāda un pielieto bisektrises īpašību (nogriežņu attiecība).
2. Trijstūra laukums 00:20:00 vidēja 9 p. Hērona formula, S ar leņķi (arī leņķa izteikšana), mediānas laukuma īpašība.
3. Trijstūrim apvilkta un ievilkta riņķa līnija 00:20:00 vidēja 9 p. Taisnleņķa trijstūra, patvaļīga trijstūra R un r. Sinusa teorēma (ar 2R).