Teorēma. Trijstūra visas trīs mediānas krustojas vienā punktā. Šis punkts sadala katru mediānu divos nogriežņos, kuru garumu attiecība ir \(2:1\), skaitot no virsotnes.
Pierādīsim šo teorēmu, izmantojot paralelograma diagonāļu un trijstūra viduslīnijas īpašības.
Dots: , kur punkts \(O\) ir mediānu un krustpunkts.
Jāpierāda: arī mediāna iet caur punktu \(O\).
Pierādījums
Novelk staru \(AO\).
Šī stara krustpunktu ar malu \(BC\) apzīmē ar .
Uz stara atliek punktu \(F\) tā, lai .
Četrstūris \(AOCF\) ir paralelograms, jo tā diagonāles \(AC\) un \(OF\) krustpunktā dalās uz pusēm.
(paralelograma pazīme).Tas nozīmē, ka \(OC=AF\), kā paralelograma malas.
Tādā gadījumā arī , kas nozīmē, ka ir trijstūra \(ABF\) viduslīnija.
Tāpēc \(OB=OF,\) kā trijstūra mala, ko viduslīnija sadala uz pusēm.
Tā kā (jo diagonāle krustpunktā dalās uz pusēm), tad arī .
Tātad
Līdz ar to .
, tātad
Pierādīsim, ka ir mediāna.
Tā kā , kā paralelograma malas, tad arī .
Bet jau zinām, ka \(OB=OF\). Tāpēc ir trijstūra \(FBC\) viduslīnija un līdz ar to , jo viduslīnija trijstūra malu dala uz pusēm.
Tātad ir mediāna, kas iet caur punktu \(O\).
Tātad
Tas bija jāpierāda.