Pitagora teorēmu un trigonometriskās sakarības var lietot tikai taisnleņķa trijstūra elementu aprēķināšanai. Taisnleņķa trijstūra aprēķināšanai pietiek ar diviem dotiem lielumiem (divām malām vai leņķi un malu).
Patvaļīga trijstūra aprēķināšanai nepieciešami vismaz trīs doti lielumi.
Kosinusu teorēma Trijstūra jebkuras malas kvadrāts ir vienāds ar abu pārējo malu kvadrātu summu, no kuras atņemts divkāršots šo malu reizinājums ar ietvertā leņķa kosinusu:
Kosinusu teorēmu parasti lieto, lai aprēķinātu:
- trešās malas garumu, ja dotas divas malas un leņķis starp tām;
- trijstūra leņķa lielumu, ja doti visu trīs malu garumi.
Piemērs:
No laivu piestātnes \(P\) laiva \(A\) ir \(5\) km attālumā ar azimutu \(64\)°, bet laiva \(B\) ir \(3\) km attālumā ar azimutu \(184\)°
Kāds ir attālums starp laivām \(A\) un \(B\)?
Dots: \(PA=\)\(5\) km, \(PB\)\(=3\) km,
Jāaprēķina: \(AB\)
Risinājums:
Azimuts ir pagrieziena leņķis pulksteņa rādītāju virzienā, kur atskaites punkts ir uz ziemeļiem.
Aplūkojam trijstūri \(APB.\)
Aprēķinām leņķi starp malām \(PA\) un \(PB\).
( \(-7\) neder, jo ceļa garums nevar būt negatīvs skaitlis.)
Atbilde:
Attālums starp laivām \(A\) un \(B\) ir \(7\) km.
Aplūkosim kosinusu teorēmu taisnleņķa trijstūrim. Taisnleņķa trijstūrī leņķis starp katetēm ir \(90\)°. Uzrakstām kosinusu teorēmu:
ja \(a\) - hipotenūza un \(a, b\) ir katetes.
Pitagora teorēma Hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar katešu kvadrātu summu.
Matemātika I formulu lapā ir dota kosinusu teorēma.
Tālāk iepazīsties ar Pitagora teorēmas un kosinusu teorēmas pierādījumu, izmantojot vektorus.