Ko nozīmē vidējais proporcionālais?
Ja starp nogriežņiem \(x\), \(y\), \(z\) pastāv sakarība , tad saka, ka \(y\) ir vidējais proporcionālais jeb vidējais ģeometriskais. Sakarību var uzrakstīt arī šādi:
Taisnleņķa trijstūrī ir spēkā teorēmas, ko sauc arī par Eiklīda teorēmām.
Taisnleņķa trijstūrī katete ir vidējais proporcionālais starp hipotenūzu un šis katetes projekciju uz hipotenūzas.
Taisnleņķa trijstūra augstums, kas vilkts pret hipotenūzu, ir vidējais proporcionālais nogrieznis starp katešu projekcijām uz hipotenūzas.
Pierādīsim šīs teorēmas.
Dots: Taisnleņķa trijstūris \(ABC\).
- augstums, kas novilkts pret hipotenūzu,
- katetes \(a\) projekcija uz hipotenūzu \(c\),
- katetes \(b\) projekcija uz hipotenūzu \(c\).
Jāpierāda:
Pierādījums
Izmanto trijstūru līdzību.
Ja taisnleņķa trijstūrī ir novilkts augstums, trijstūri \(ABC\), \(CBD\) un \(ACD\) ir līdzīgi.
jo abiem trijstūriem ir viens kopīgs leņķis un .
jo abiem trijstūriem ir kopīgs leņķis un .
Tāpēc spēkā ir šādas attiecības
jeb , kas nozīmē, ka .
jeb , kas nozīmē, ka .
Tā kā , tad
jeb , kas nozīmē, ka .
Secinājums
Taisnleņķa trijstūrī katešu kvadrāti attiecas tāpat kā šo katešu atbilstošās projekcijas uz hipotenūzas.
Izdalām sakarības un .
tātad
Piemērs:
Aprēķini taisnleņķa trijstūra katešu attiecību, ja katešu projekcijas attiecas kā .
Risinājums
Tā kā , tad
jo nogriežņu garumi ir nenegatīvi skaitļi.
Atbilde: katešu attiecība ir .
Formulas ir dotas matemātika II formulu lapā