4. jūnijs - MATEMĀTIKA
EKSĀMENS 9. KLASEI
Skola2030 programmas parauguzdevums
Piemērs:
Izpēti un pamato funkciju y=tgx un y=ctgx monotonitātes intervālus, kritiskos un ekstrēma punktus, grafika izliekumu, ieliekumu un pārliekuma punktus, izmantojot atvasinājumu.
 
Lai noteiktu monotonitātes intervālus, kritiskos un ekstrēma punktus, atrod funkcijas pirmo atvasinājumu un to pielīdzina nullei.
 
Lai noteiktu funkcijas grafika izliekumu, ieliekumu un pārliekuma punktus, izmanto otro atvasinājumu.
 
Funkcijas y=tgx un y=ctgx atvasina pēc dalījuma kārtulas, zinot. ka tgx=sinxcosx, ctgx=cosxsinx.
uv=uvuvv2 un sinx=cosxcosx=sinx
Izpētīsim funkciju y=tgx tās definīcijas apgabalā D(y)=\π2+πn,n.
Atvasināsim funkciju fx=tgx:
f(x)=tgx=sinxcosx,xπ2+πn,nf(x)=sinxcosx=sinxcosxsinxcosxcosx2==cosxcosxsinxsinxcos2x==cos2x+sin2xcos2x==1cos2x
 
Pielīdzinām atvasinājumu nullei, tādējādi nosakot kritiskos punktus.
f(x)=1cos2x=0xπ2+πn,n,n
Redzam, ka neeksistē tādas x vērtības, ar kurām funkcijas y=tgx\( \) atvasinājums ir vienāds ar nulli. Tātad funkcijai savā definīcijas apgabalā nav kritisko punktu, sekojoši nav arī ekstrēma punktu (minimuma punkts un maksimuma punkts).
 
Noskaidrosim monotonitātes intervālus.
Funkcija aug, ja pirmais atvasinājums ir lielāks par nulli.
fx=1cos2x>0xR,xπ2+πn,n
 
Redzam, ka funkcija y=tgx ir augoša visā savā definīcijas apgabalā.
 
 
Lai noteiktu grafika izliekumu, ieliekumu un pārliekuma punktus, atrod otro atvasinājumu.
To var izdarīt divējādi. y=tgx pirmo atvasinājumu 1cos2x var atvasināt kā daļu vai kā pakāpes funkciju.
 
I veids*: 
fx=1cos2x==1cos2x+1cos2xcos4x==2cosxcosx+0cos2xcos4x==2cosxsinx+0cos4xfx=2sinxcos3x

Funkcijas pārliekums 
var būt punktos, kuros funkcijas otrais atvasinājums ir nulle vai arī neeksistē. Uzmanies! Ne vienmēr punktos, kuros 2. kārtas atvasinājums ir vienāds ar nulli vai neeksistē, funkcijai ir pārliekums.
 
fx=2sinxcos3x=0sinx=0cosx0x=πn,nxπ2+πk,n,kx=πn,n
 
Tā kā funkcija y=tgx ir periodiska, noskaidrosim funkcijas ieliekumu un izliekumu dažos intervālos:
 
\(x\)
π2;0
\(0\)
0;π2
π2
π2;π
π
π;3π2
f(x)
\(-\)
\(0\)
\(+\)
neeksistē
\(-\)
\(0\)
\(+\)
\(f(x)\)
izliekta
(uz augšu)
pārliekums
\(0\)
ieliekta
(uz leju)
pārliekums,
vertikālā
asimptota
izliekta
pārliekums
\(0\)
ieliekta
Līniju sauc par izliektu kādā intervālā, ja tā atrodas zem pieskares, kas novilkta brīvi izraudzītā līnijas punktā. Tad fx<0.
Līniju sauc par ieliektu kādā punktā, ja tā atrodas virs pieskares, kas novilkta brīvi izraudzītā līnijas punktā. Tad fx<0.
Lai vieglāk atcerēties, ieliekts - ieleja, izliekts - izceļas.
Konstruē funkcijas y=tgx grafiku:
 
tgxgrafiks.svg
 
*II veids, kā iegūt otro atvasinājumu. Izmanto pakāpes atvasinājumu: xα=αxα1
 
fx=1cos2x==cos2x=2cosx21cosx==2cos3xsinx==2sinxcos3x
 
Pamēģini izpētīt funkciju y=ctgx.