Teorija

Punktu \(x_0\) sauc par funkcijas \(f(x)\) maksimuma punktu, ja šim punktam eksistē tāda apkārtne, ka visām \(x\) vērtībām no šīs apkārtnes ir spēkā nevienādība fxfx0.
 
Punktu \(x_0\) sauc par funkcijas \(f(x)\) minimuma punktu, ja šim punktam eksistē tāda apkārtne, ka visām \(x\) vērtībām no šīs apkārtnes ir spēkā nevienādība fxfx0.
 
Maksimuma un minimuma punktu kopīgs nosaukums ir ekstrēma punkti (latīņu vārds extremus nozīmē "galējs").
Ekstrēma eksistences nepieciešamais nosacījums
Ja punkts \(x_0\) ir funkcijas ekstrēma punkts, tad fx=0 vai fx neeksistē.
Punktus, kuros funkcijas 1. kārtas atvasinājums ir vienāds ar \(0\) vai neeksistē, sauc par kritiskajiem punktiem.
Kritiskajā punktā funkcijai var būt vai nu maksimums vai minimums, bet ir iespējams, ka kritiskajā punktā ekstrēma nav.
 
Piemēram, funkcijas y=x3 atvasinājums fx=3x2 ir vienāds ar nulli, ja  \(x\)\(=0\). Taču koordinātu sākumpunktā šai funkcijai nav ne maksimuma, ne minimuma. Argumenta vērtība \(x=0\) ir kritiskais punkts, bet nav ekstrēma punkts.
 
y3.svg
Lai punkts būtu funkcijas ekstrēma punkts, ir nepieciešams, lai tas būtu kritiskais punkts. Taču ne katrs kritiskais punkts ir ekstrēms.
 
Ekstrēma eksistences pietiekamais nosacījums.
Ja kādā intervālā \((a;b)\) punkts \(x_0\) ir vienīgais kritiskais punkts un
1) fx>0 intervālā (\(a;x_0\)), bet fx<0 intervālā \((x_0;b\)), tad \(x_0\) ir maksimuma punkts;
2) fx<0 intervālā \((a;x_0\)), bet fx>0 intervālā \((x_0;b\)), tad \(x_0\) ir minimuma punkts.
 
Aplūkojot funkcijas y=x3 grafiku, redzam, ka šīs funkcijas atvasinājums ir pozitīvs visām \(x\) vērtībām, tātad tā ir augoša visā savā definīcijas apgabalā. Neizpildās ekstrēma eksistences nepieciešamais nosacījums. Kritiskais punkts \(x=0\) nav ekstrēms.
Funkcijas vērtības ekstrēma punktos sauc par funkcijas ekstrēmiem.
Ievēro atšķirību! 
Ekstrēma punkts (minimuma punkts vai maksimuma punkts) ir argumenta vērtība.
Ekstrēms (minimums vai maksimums) ir dotās funkcijas vērtība ekstrēma punktā.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 1. daļa. izm. 156.-157. lpp.