Punktu \(x_0\) sauc par funkcijas \(f(x)\) maksimuma punktu, ja šim punktam eksistē tāda apkārtne, ka visām \(x\) vērtībām no šīs apkārtnes ir spēkā nevienādība .
Punktu \(x_0\) sauc par funkcijas \(f(x)\) minimuma punktu, ja šim punktam eksistē tāda apkārtne, ka visām \(x\) vērtībām no šīs apkārtnes ir spēkā nevienādība .
Maksimuma un minimuma punktu kopīgs nosaukums ir ekstrēma punkti (latīņu vārds extremus nozīmē "galējs").
Ekstrēma eksistences nepieciešamais nosacījums
Ja punkts \(x_0\) ir funkcijas ekstrēma punkts, tad vai neeksistē.
Punktus, kuros funkcijas 1. kārtas atvasinājums ir vienāds ar \(0\) vai neeksistē, sauc par kritiskajiem punktiem.
Kritiskajā punktā funkcijai var būt vai nu maksimums vai minimums, bet ir iespējams, ka kritiskajā punktā ekstrēma nav.
Piemēram, funkcijas atvasinājums ir vienāds ar nulli, ja \(x\)\(=0\). Taču koordinātu sākumpunktā šai funkcijai nav ne maksimuma, ne minimuma. Argumenta vērtība \(x=0\) ir kritiskais punkts, bet nav ekstrēma punkts.
Lai punkts būtu funkcijas ekstrēma punkts, ir nepieciešams, lai tas būtu kritiskais punkts. Taču ne katrs kritiskais punkts ir ekstrēms.
Ekstrēma eksistences pietiekamais nosacījums.
Ja kādā intervālā \((a;b)\) punkts \(x_0\) ir vienīgais kritiskais punkts un
1) intervālā (\(a;x_0\)), bet intervālā \((x_0;b\)), tad \(x_0\) ir maksimuma punkts;
2) intervālā \((a;x_0\)), bet intervālā \((x_0;b\)), tad \(x_0\) ir minimuma punkts.
Aplūkojot funkcijas grafiku, redzam, ka šīs funkcijas atvasinājums ir pozitīvs visām \(x\) vērtībām, tātad tā ir augoša visā savā definīcijas apgabalā. Neizpildās ekstrēma eksistences nepieciešamais nosacījums. Kritiskais punkts \(x=0\) nav ekstrēms.
Funkcijas vērtības ekstrēma punktos sauc par funkcijas ekstrēmiem.
Ievēro atšķirību!
Ekstrēma punkts (minimuma punkts vai maksimuma punkts) ir argumenta vērtība.
Ekstrēms (minimums vai maksimums) ir dotās funkcijas vērtība ekstrēma punktā.