Ar atvasinājuma palīdzību var iegūt informāciju par funkcijas monotonitāti, t.i., kuros definīcijas apgabala intervālos funkcija ir augoša un kuros - dilstoša.
Piemērs:
Dota funkcija . Nosaki pieskares vienādojumu punktā \(x_0\).
a) ja \(x_0=1\);
b) ja \(x_0= 4\).
Risinājums
Pieskares vienādojums .
Dotās funkcijas atvasinājums .
a) Iegūsim pieskares vienādojumu, ja \(x_0=1\)
Esam ieguvuši pieskari - lineāru funkciju, kura ir dilstoša. Ievērojam, ka funkcijas atvasinājums punktā ir negatīvs.
b) Iegūsim pieskares vienādojumu, ja \(x_0=4\)
Esam ieguvuši pieskari - lineāru funkciju, kura ir augoša. Ievērojam, ka funkcijas atvasinājums punktā ir pozitīvs.
Viegli ieraudzīt, ka pieskares virziena koeficienta zīme ir atkarīga no funkcijas atvasinājuma zīmes šajā punktā. Ja atvasinājuma vērtība ir negatīva, tad funkcija dilst, ja pozitīva - tad aug.
Noskaidrosim, kāds ir funkcijas pieskares vienādojums, ja \(x_0=2\)
Redzam, ka atvasinājuma vērtība ir nulle, pieskare ir konstanta funkcija - ne aug, ne dilst.
Par šo situāciju vairāk mācīsimies turpmāk. Taču var ievērot, ka tieši tajā punktā, kurā atvasinājuma vērtība ir nulle, funkcijas monotonitāte var izmainīties.
Par funkcijas monotonitāti ir spēkā tiešā un apgrieztā teorēma:
Ja funkcijai \(f(x)\) kādā intervālā eksistē atvasinājums un tā ir augoša šajā intervālā, tad katrā intervāla punktā , bet, ja funkcija ir dilstoša, tad .
Ja funkcijai eksistē atvasinājums visos intervāla \((a;b)\) punktos un , tad funkcija šajā intervālā ir augoša, bet ja , tad dilstoša.
Lai praktiski noteiktu intervālus, kuros funkcija y=f(x) ir augoša un kuros - dilstoša, var lietot šādu algoritmu:
1) Nosaka funkcijas definīcijas apgabalu.
2) Aprēķina funkcijas atvasinājumu .
3) Atrisina vienādojumu un nosaka visas x vērtības, ar kurām atvasinājums neeksistē. Iegūtos punktus sakārto augošā secībā un atliek uz koordinātu taisnes vai sakārto tabulā.
4) Nosaka zīmi katrā intervālā, turklāt,
ja , tad \(f(x)\) aug,
ja , tad \(f(x)\) dilst.
Atgādne
Funkciju \(y=f(x)\) sauc par augošu intervālā , ja katrām divām argumenta vērtībām un no šī intervāla, kurām , ir spēkā nevienādība .
Jeb - funkciju \(y=f(x)\) sauc par augošu, ja, palielinoties argumenta vērtībām, palielinās funkcijas vērtības (skat. 1. zīm.).
Funkciju y=f(x) sauc par dilstošu intervālā , ja katrām divām argumenta vērtībām un no šī intervāla, kurām , ir spēkā nevienādība .
Jeb - funkciju \(y=f(x)\) sauc par dilstošu, ja, palielinoties argumenta vērtībām, samazinās funkcijas vērtības (skat. 2. zīm.).
Šī īpašība - augt vai dilt, piemīt visām funkcijām, izņemot tos intervālus, kurās tās sakrīt ar konstantu jeb nemainīgu funkciju .
Piemērs:
Funkcija ir paralēla asij, tā ne dilst, ne aug.
Ja funkcija kādā intervālā ir tikai dilstoša vai tikai augoša, tad to sauc par monotonu funkciju.
Visā savā definīcijas apgabalā monotonas funkcijas ir, piemēram, lineāra funkcija, eksponentfunkcija, logaritmiskā funkcija, kvadrātsaknes funkcija, apgrieztā proporcionalitāte.
Kvadrātfunkcija nav monotona visā definīcijas apgabalā, bet gan atsevišķos intervālos.
Piemērs:
Kvadrātfunkcija dilst, ja , un aug, ja
Funkciju augšana, dilšana atkarībā no parametriem:
-
Lineāra funkcija aug, ja , un dilst, ja .
-
Logaritmiskā funkcija un eksponentfunkcija - abas aug, ja bāze , un dilst, ja bāze .
-
Daļveida funkcija , kuras grafiks ir hiperbola, aug, ja \(a<0\), un dilst, ja \(a>0\).