Teorija

Ar atvasinājuma palīdzību var iegūt informāciju par funkcijas monotonitāti, t.i., kuros definīcijas apgabala intervālos funkcija ir augoša un kuros - dilstoša.
Piemērs:
Dota funkcija fx=x24x+3. Nosaki pieskares vienādojumu punktā \(x_0\).
a) ja \(x_0=1\);
b) ja \(x_0= 4\).
 
Risinājums
Pieskares vienādojums y=fx0+fx0xx0.
Dotās funkcijas atvasinājums y=2x4.
a) Iegūsim pieskares vienādojumu, ja \(x_0=1\)
f1=1241+3=0f1=214=2y=02x1y=2x+2
Esam ieguvuši pieskari - taisni, kura ir dilstoša. Ievērojam, ka funkcijas atvasinājums punktā ir negatīvs.
 
b) Iegūsim pieskares vienādojumu, ja \(x_0=4\)
f4=4244+3=3f4=244=4y=3+4x4y=4x13
Esam ieguvuši pieskari - taisni, kura ir augoša. Ievērojam, ka funkcijas atvasinājums punktā ir pozitīvs.
 
Augdilst.svg
 
Viegli ieraudzīt, ka pieskares virziena koeficienta zīme ir atkarīga no funkcijas atvasinājuma zīmes šajā punktā. Ja atvasinājuma vērtība ir negatīva, tad taisne dilst, ja pozitīva - tad aug.
Ja pieskare ir augoša taisne, tad arī funkcija ir augoša. Ja pieskare dilst - arī funkcija dilst.
 
Noskaidrosim, kāds ir funkcijas fx=x24x+3 pieskares vienādojums, ja \(x_0=2\)
f2=2242+3=1f2=224=0y=1+0x2y=1
Redzam, ka atvasinājuma vērtība ir nulle, pieskare ir konstanta taisne - ne aug, ne dilst.
Par šo situāciju vairāk mācīsimies turpmāk. Taču var ievērot, ka tieši tajā punktā, kurā atvasinājuma vērtība ir nulle, var izmainīties funkcijas augšana un dilšana.
 
Par funkcijas monotonitāti ir spēkā tiešā un apgrieztā teorēma:
Ja funkcijai \(f(x)\) kādā intervālā eksistē atvasinājums un tā ir augoša šajā intervālā, tad katrā intervāla punktā fx0, bet, ja funkcija ir dilstoša, tad fx0.
 
Ja funkcijai eksistē atvasinājums visos intervāla \((a;b)\) punktos un fx>0, tad funkcija šajā intervālā ir augoša, bet ja fx<0, tad dilstoša.
Lai praktiski noteiktu intervālus, kuros funkcija y=f(x) ir augoša un kuros - dilstoša, var lietot šādu algoritmu:
1) Nosaka funkcijas definīcijas apgabalu.
2) Aprēķina funkcijas atvasinājumu fx.
3) Atrisina vienādojumu fx=0 un nosaka visas x vērtības, ar kurām atvasinājums neeksistē. Iegūtos punktus sakārto augošā secībā un atliek uz koordinātu taisnes vai sakārto tabulā.
4) Nosaka fx zīmi katrā intervālā, turklāt,
ja fx>0, tad \(f(x)\) aug,
ja fx<0, tad \(f(x)\) dilst.
 
Atgādne
Funkciju \(y=f(x)\) sauc par augošu intervālā a;b, ja katrām divām argumenta vērtībām x1 un x2 no šī intervāla, kurām x1<x2, ir spēkā nevienādība fx1<fx2
augšanas parādīšana Asset 1.svg
Jeb - funkciju \(y=f(x)\) sauc par augošu, ja, palielinoties argumenta vērtībām, palielinās funkcijas vērtības (skat. 1. zīm.).
 
Funkciju y=f(x) sauc par dilstošu intervālā a;b, ja katrām divām argumenta vērtībām x1 un x2 no šī intervāla, kurām x1<x2, ir spēkā nevienādība fx1>fx2.
daljveida pozitiva Asset 1.svg
Jeb - funkciju \(y=f(x)\) sauc par dilstošu, ja, palielinoties argumenta vērtībām, samazinās funkcijas vērtības (skat. 2. zīm.).
 
Šī īpašība - augt vai dilt, piemīt visām funkcijām, izņemot tos intervālus, kurās tās sakrīt ar konstantu jeb nemainīgu funkciju y=a.
Piemērs:
Funkcija y=3 ir paralēla x asij, tā ne dilst, ne aug.
konstanata_funkcija Asset 1.svg
Ja funkcija kādā intervālā ir tikai dilstoša vai tikai augoša, tad to sauc par monotonu funkciju.
Visā savā definīcijas apgabalā monotonas funkcijas ir, piemēram, lineāra funkcija, eksponentfunkcija, logaritmiskā funkcija, kvadrātsaknes funkcija, apgrieztā proporcionalitāte.
 
Kvadrātfunkcija nav monotona visā definīcijas apgabalā, bet gan atsevišķos intervālos.
Piemērs:
Kvadrātfunkcija y=x22 dilst, ja x;0, un aug, ja x0;+
x^2-2 Asset 1.svg
 
Funkciju augšana, dilšana atkarībā no parametriem:
  • Lineāra funkcija y=ax+b aug, ja a>0, un dilst, ja a<0.
  • Logaritmiskā funkcija y=logax un eksponentfunkcija y=ax - abas aug, ja bāze a>1, un dilst, ja bāze 0<a<1.
  • Daļveida funkcija y=ax, kuras grafiks ir hiperbola, aug, ja \(a<0\), un dilst, ja \(a>0\).
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 1. daļa. izm. 150.-151. lpp.