Satura rādītājs:
Materiāli skolotājiem
| Numurs | Nosaukums | Apraksts |
|---|---|---|
| 1. | Satura rādītājs | |
| 2. | Darba lapa izdalei. Kombinācijas. Paskāla trijstūris | Apkopoti uzdevumi, kas atrisināti Uzdevumi.lv. |
| 3. | Kombinācijas un Paskāla trijstūris dokumentos | Atsauces uz valsts standartu un Skola2030 programmu. |
| 4. | Atbalsts skolotājam. Pierādījums par 2^n ar MIP | Lieto matemātisko indukciju, lai pierādītu, ka Paskāla trijstūrī kombināciju summa vienāda ar 2^n. |
Teorija
| Numurs | Nosaukums | Apraksts |
|---|---|---|
| 1. | Kombinatorikas I kopsavilkums | Īss kopsavilkums par izlašu veidiem: permutācijas, variācijas, kombinācijas. |
| 2. | Atkārtojums. Kombinācijas jēdziens | Nesakārtotas izlases. Kombināciju definīcija un aprēķināšanas formula. |
| 3. | Kombināciju skaita īpašības | Kombināciju skaita 1. un 2. īpašība |
| 4. | Paskāla trijstūris | Paskāla trijstūris ar kombinācijām un ar skaitļiem. Saite uz Daugavpils universitātes prezentāciju. |
| 5. | Divnieka pakāpes Paskāla trijstūrī | Paskāla trijstūra n-tās rindas skaitļu summa ir vienāda ar 2^n. Pierādījums un piemērs. |
Uzdevumi
| Numurs | Nosaukums | Tips | Grūtības pakāpe | Punkti | Apraksts |
|---|---|---|---|---|---|
| 1. | Kombinācijas formula | 1. izziņas līmenis | zema | 1p. | Skaitlisks piemērs |
| 2. | Nesakārtotu izlašu skaita noteikšana | 2. izziņas līmenis | vidēja | 2p. | Kombinācijas. Konfekšu izvēle. |
| 3. | Kombinācijas un saskaitīšanas likums | 2. izziņas līmenis | vidēja | 3p. | Strukturēts uzdevums. Kombinācijas. Izvēlas objektu 1 vai objektu 2. |
| 4. | Kombinācijas un reizināšanas likums | 2. izziņas līmenis | vidēja | 4p. | Pielieto reizinājuma likumu. Dotas divas kopas. |
| 5. | Izlases no divām kopām | 2. izziņas līmenis | vidēja | 3p. | Dotas divas kopas, no kuras veido vienu izlasi. Cik veidos var aizbraukt pieredzes apmaiņā? |
| 6. | No divām kopām izvēlas vismaz n elementus | 3. izziņas līmenis | augsta | 4p. | Dotas divas kopas, izvēlas 4 elementus starp kuriem jābūt vismaz 2 pirmās kopas elementiem. |
| 7. | Bumbiņu izlašu skaits | 2. izziņas līmenis | vidēja | 4p. | Grozā 41 bumbiņa, kas sanumurētas no 1. līdz 41. Cik dažādos veidos var izvēlēties 2 bumbiņas, lai vismaz vienai no tām numurs būtu lielāks nekā 34? Papildjautājums. |
| 8. | Izlašu skaits pie nosacījuma | 3. izziņas līmenis | augsta | 4p. | Ieskaitei jāsagatavo 43 jautājumi, kas sanumurēti no 1. līdz 43. Cik dažādos veidos var izvēlēties 3 jautājumus, lai vismaz vienam no tiem numurs būtu lielāks nekā 39? |
| 9. | Divu krāsu lodīšu rinda | 2. izziņas līmenis | augsta | 2p. | Rēķina kombinācijas. |
| 10. | n elementu kopu sadala uz pusēm | 2. izziņas līmenis | vidēja | 2p. | Cik veidos n skolēnu klasi var sadalīt divās skaitliski vienādās komandās. |
| 11. | n elementu kopu sadala k grupās | 2. izziņas līmenis | augsta | 3p. | Prot pielietot kombinācijas, izvēloties pirmo grupu, tad otro grupu, tad trešo... |
| 12. | Cik riņķa līnijas var novilkt caur dotajiem punktiem? | 2. izziņas līmenis | vidēja | 2p. | Rēķina kombinācijas. |
| 13. | Daudzstūra diagonāles | 2. izziņas līmenis | vidēja | 2p. | Dota daudzstūris, nosaka diagonāļu skaitu. |
| 14. | Paralelogramu skaits | 2. izziņas līmenis | vidēja | 3p. | Dotas n paralēlas taisnes un k krustisko taišnes. Nosaka paralelogramu skaitu. |
| 15. | Vienādojums ar kombinācijām | 2. izziņas līmenis | vidēja | 3p. | Vienkāršo līdz lineāram vienādojumam. |
| 16. | Nevienādība ar kombinācijām | 2. izziņas līmenis | vidēja | 3p. | Dota nevienādība: kombinācija no n pa (n-2) mazāka vienāda par skaitli. |
| 17. | Nosaka kopas elementu skaitu | 2. izziņas līmenis | vidēja | 3p. | Sastāda vienādojumu ar kombinācijām. |
| 18. | Nosaka punktu skaitu plaknē | 2. izziņas līmenis | vidēja | 3p. | Sastāda vienādojumu ar kombinācijām. Dots nogriežņu skaits, nosaka punktu skaitu plaknē. |
| 19. | Taišņu skaits plaknē | 3. izziņas līmenis | augsta | 4p. | Dotas n paralēlas taisnes un paralelogramu skaits. Nosaka krustisko taišņu skaitu. |
| 20. | Pierādījums ar MIP | 3. izziņas līmenis | augsta | 6p. | Lieto matemātisko indukciju, lai pierādītu vienādību ar kombināciju summu. Ieraksta trūkstošos skaitļus un izteiksmes. |
| 21. | Trijstūru skaits ar Paskāla trijstūri | 2. izziņas līmenis | vidēja | 1p. | Dots trijstūru skaits. Izmantojot Paskāla trijstūri, nosaka punktu skaitu plaknē. |
| 22. | Kombināciju 1. īpašība | 1. izziņas līmenis | zema | 1p. | Zina, ka Paskāla trijstūrī no galiem vienādi attālinātie skaitļi ir vienādi. |
| 23. | Kombināciju 2. īpašība | 1. izziņas līmenis | zema | 2p. | Izmanto 2. kombināciju īpašību. |
| 24. | Izteiksmes vērtība, izmantojot C īpašības | 2. izziņas līmenis | vidēja | 3p. | Izmanto 1. un 2. kombināciju īpašības. |
| 25. | Paskāla trijstūris ar kombinācijām | 1. izziņas līmenis | zema | 4p. | Prot aizpildīt Paskāla trijstūri ar atbilstošām kombinācijām. |
| 26. | Kombināciju summa | 2. izziņas līmenis | vidēja | 1p. | Pielieto likumu: Paskāla trijstūra n-tās rindas skaitļu summa ir vienāda ar 2^n. |
| 27. | Uzdevums par ziediem | 2. izziņas līmenis | vidēja | 1p. | Pielieto likumu: Paskāla trijstūra n-tās rindas kombināciju summa ir vienāda ar 2^n. Atņem pirmo kombinaciju. |
| 28. | Uzdevums par komplektiem | 2. izziņas līmenis | vidēja | 3p. | Pielieto likumu: Paskāla trijstūra n-tās rindas kombināciju summa ir vienāda ar 2^n. Atņem trīs pirmās kombinācijas. |
| 29. | Klasiskā varbūtība ar kombinācijām | 2. izziņas līmenis | vidēja | 5p. | No n loterijas biļetēm laimīgas ir 2. |
Papildu uzdevumi (slēpti no skolēniem)
| Numurs | Nosaukums | Tips | Grūtības pakāpe | Punkti | Apraksts |
|---|---|---|---|---|---|
| 1. | Paciņu sadala uz pusēm | Citi | vidēja | 2p. | Paciņā ir 60 dažādi saldumi. Cik veidos šo paciņu var sadalīt uz pusēm - divās paciņās, kurās saldumu skaits ir vienāds. |
| 2. | Bumbiņu izlašu skaits | Citi | augsta | 4p. | Grozā atrodas 40 bumbiņas, kas sanumurētas no 1. līdz 40. Cik dažādos veidos var izvēlēties 3 bumbiņas, lai vismaz vienai no tām numurs būtu lielāks nekā 34? |
| 3. | Trijstūru skaits | Citi | vidēja | 1p. | Uz riņķa līnijas doti n punkti. |
| 4. | Koda kombināciju skaits | Citi | vidēja | 7p. | Uzraksta izlases, aprēķina kombinācijas, secina. |
| 5. | Cik veidos var izdalīt konfektes? | Citi | vidēja | 4p. | Kopas sadalīšana trīs vienādās daļās. Kombināciju reizinājums. |
| 6. | Kombinācijas vienādojumā | Citi | vidēja | 3p. | Reducē uz lineāru vienādojumu. |
| 7. | Kombinācijas nevienādībā | Citi | vidēja | 3p. | Dota nevienādība: kombinācija no n pa (n-2) mazāka par skaitli. |
| 8. | No divām kopām izvēlas vismaz 2 elementus | Citi | augsta | 4p. | "vismaz" izpratne. Strukturēts uzdevums. Par komandas izveidi no zēniem un meitenēm. |
| 9. | Divu kombināciju summa | Citi | zema | 3p. | Izmanto 1. un 2. kombināciju īpašību. |
| 10. | Nogriežņu skaits no Paskāla trijstūra | Citi | vidēja | 1p. | Dots nogriežņu skaits. Izmantojot Paskāla trijstūri, nosaka punktu skaitu plaknē. |
| 11. | Konfekšu izvēle | Citi | vidēja | 2p. | Pielieto likumu: Paskāla trijstūra n-tās rindas kombināciju summa ir vienāda ar 2^n. Atņem pirmo kombinaciju. |
| 12. | Klasiskā varbūtība | Citi | vidēja | 5p. | Izmanto kombinācijas. No 29 spēļu klucīšiem 13 ir nokrāsoti, uz labu laimi paņēma 4 klucīšus. Kāda varbūtība, ka no paņemtajiem klucīšiem 3 ir nokrāsoti? |
Testi
| Numurs | Nosaukums | Ieteicamais ilgums: | Grūtības pakāpe | Punkti | Apraksts |
|---|---|---|---|---|---|
| 1. | Atkārtojums. Kombinācijas | 00:25:00 | vidēja | 21p. | Nosaka un aprēķina kombinācijas. |
| 2. | Paskāla trijstūris un tā pielietojums | 00:20:00 | vidēja | 5p. | Zina un pielieto kombināciju īpašības Paskāla trijstūrī. |
| 3. | Vienādojumi ar kombinācijām | 00:20:00 | augsta | 9p. | Atrisina un sastāda vienādojumus ar kombinācijām. Risina nevienādību. |
Mājasdarbu testi (slēpti no skolēniem)
| Numurs | Nosaukums | Ieteicamais ilgums: | Grūtības pakāpe | Punkti | Apraksts |
|---|---|---|---|---|---|
| 1. | Atkārtojums. Kombinācijas un reizināšanas likums | 00:20:00 | vidēja | 26p. | Aprēķina kombinācijas, pielieto reizināšanas un saskaitīšanas likumu, nosaka varbūtību pēc klasiskā paņēmiena. Matemātika I atkārtojums. |
| 2. | Kombināciju īpašības | 00:10:00 | vidēja | 12p. | Prot pielietot kombināciju 1. un 2. īpašību. Pierādījums ar MIP. |
| 3. | Paskāla trijstūris | 00:20:00 | augsta | 11p. | Nepieciešams kalkulators. Prot izmantot paskāla trijstūri uzdevumu risināšanā. Izmanto to, ka kombināciju summa ir 2^n. |
| 4. | Kombinācijas vienādojumos un nevienādībās | 00:20:00 | augsta | 9p. | Sastāda vienādojumu pēc teksta. Atrisina nevienādību ar kombinācijām. |