ONLINE VIDEO KURSS
"MATEMĀTIKA 10. KLASEI"
Aplūkosim interesantu kombināciju īpašību, kuru viegli pamanīt Paskāla trijstūrī.
Cn0+Cn1+...+Cnn1+Cnn=2n, kur \(n\) ir vesels nenegatīvs skaitlis \((0; 1; 2; 3; 4; ...)\).
Paskāla trijstūrī katras rindas skaitļu summa ir divnieka pakāpe. Pakāpe atbilst skaitļu rindas kārtas numuram (numerāciju sākot no nulles).
 
 
 
 
 
\(1\)
 
 
 
 
20=1
 
 
 
\(1\)
+
\(1\)
 
 
 
21=2
 
 
\(1\)
+
\(2\)
+
\(1\)
 
 
22=4
 
\(1\)
+
\(3\)
+
\(3\)
+
\(1\) 23=8
\(1\)
+
\(4\)
+
\(6\)
+
\(4\)
+
\( 1\)
24=16
 
Šo likumu var pierādīt ar matemātisko indukciju un ar Ņūtona binoma formulu (ko apgūsi nākošā tematā).
 
Aplūkosim šī likuma interpretāciju.
Ja dota galīga kopa no \(n\) elementiem, tad kombinācijas Cn0,Cn1,Cn2,...Cnn1,Cnn izsaka visu iespējamo dažādo apakškopu skaitu.
Piemēram, kopu veido desmit krāsu zīmuļi. Noskaidrosim, cik pavisam ir dažādo apakškopu:
 
Apakškopas
elementu skaits
Cik veidos šo apakškopu
var izveidot
neviens zīmulis
   C100\(=1\)
\(1\) zīmulis
 C101\(=10 \)
\(2\) zīmuļi
C102
 \(...\)
 \(...\)
\(9\) zīmuļi
C109
\(10\) zīmuļi
C1010=1
kopā:
210=1024
 
Pēc tikko aplūkotā likuma Paskāla trijstūrī var secināt, ka visu apakškopu skaits ir \(1024\), jo
i=010C10i=C100+C101+C102+...+C109+C1010=210=1024
 
Šis likums ietaupa laiku, jo nav jārēķina katras kombinācijas vērtība. Tas ir īpaši svarīgi, ja kopas apjoms ir liels.
Piemērs:
Markuss vēlējās apsveikt savu draudzeni dzimšanas dienā. Ziedu veikala pārdevējai bija atlikuši \(11\) ziedi. Markuss nolēma dažus no tiem nopirkt. Cik izvēles iespējas ir Markusam, ja viņš var nopirkt jebkuru skaitu no \(1\) līdz \(11\) ziediem, tas ir \(1; 2; 3;\) … vai visus \(11\) ziedus.
 
Risinājums
Vienu ziedu var izvēlēties C111 veidos (\(11\) veidi).
Divus ziedus var izvēlēties C112 veidos.
\(10 \) ziedus var izvēlēties C1110 veidos.
Visus \(11\) ziedus viņš var izvēlēties C1111 veidos (\(1\) veids).
 
Markusa kopējais izvēļu skaits ir C111+C112+...+C1110+C1111.
 
Ievērojam, ka esam ieguvuši Paskāla trijstūra \(12.\) rindas (jo numerācija sākas no \(0\)-tās rindiņas) skaitļu summu, kurā trūkst pirmais skaitlis C110=1, jo Markuss noteikti nopirks kaut vienu ziedu.
 
Paskāla trijstūrī katras rindas skaitļu summa ir divnieka pakāpe.
Lai aprēķinātu uzdevumā prasīto izvēļu skaitu, no summas atņem pirmo saskaitāmo C110.
i=011C11i=C110+C111+...+C1110+C1111=211
 
C111+...+C1110+C1111=211C110C111+...+C1110+C1111=2111=2047
 
Atbilde: Markuss ziedus var nopirkt \(2047\) veidos.
Vingrinies portālā šeit un nedaudz grūtāku uzdevumu šeit.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa