27.
maijā
Eksāmens
MATEMĀTIKĀ 9. KLASEI
Teorija
Viena no svarīgākajām funkcijas īpašībām ir funkcijas nepārtrauktība. Ģeometrisks priekšstats par šo īpašību saistās ar funkcijas grafiku kā nepārtrauktu līniju.
Funkcijas nepārtrauktības definīcija
Funkciju \(y=f(x)\) sauc par nepārtrauktu punktā \(x_0\), ja bezgalīgi mazam argumenta pieaugumam atbilst bezgalīgi mazs funkcijas pieaugums, t.i., ja .
Ievēro, ka funkcija ir pārtraukta punktā arī tad, ja šajā punktā tā nav definēta.
Secinājums no nepārtrauktības definīcijas
Funkciju \(y=f(x)\) sauc par nepārtrauktu punktā \(x_0\), ja ir spēkā vienādība jeb
Pamatojums.
Pārveidosim funkcijas nepārtrauktības definīciju, zinot, ka .
No vienādības seko, ka
Ievērojam, ka ir konstants lielums, tā robežas vērtība ir šis lielums. Tā kā , tad no nosacījuma, ka seko, ka jeb .
Izmantojot pēdējo sakarību, iegūst:
jeb .
Tas nozīmē: ja funkcija ir nepārtraukta punktā \(x_0\), tad funkcijas robeža, kad , ir vienāda ar funkcijas vērtību punktā \(x_0\).
Piemērs:
Izpēti funkcijas nepārtrauktību, ja \(x=3.\)
Atrisinājums.
Pārbaudīsim, vai funkcijas robeža, kad , ir vienāda ar funkcijas vērtību punktā \(x=3.\)
1) aprēķinām robežu
2) aprēķinām dotās funkcijas vērtību
Redzam, ka . Tātad punktā \(x=3\) funkcija ir nepārtraukta.
Piemērs:
Izpēti funkcijas \(y\) nepārtrauktību punktā \(x=1\), ja
Risinājums.
Tātad funkcija punktā \(x=1\) nav nepārtraukta, jo
.
Funkciju \(y=f(x)\) sauc par nepārtrauktu intervālā (a;b), ja tā ir nepārtraukta katrā šī intervāla punktā.
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 1. daļa. izm. 84.lpp.-85. lpp.