27.
maijā
Eksāmens MATEMĀTIKĀ 9.KLASEI
Trenējies ŠEIT!

Teorija

Viena no svarīgākajām funkcijas īpašībām ir funkcijas nepārtrauktība. Ģeometrisks priekšstats par šo īpašību saistās ar funkcijas grafiku kā nepārtrauktu līniju.
 
Funkcijas nepārtrauktības definīcija
Funkciju \(y=f(x)\) sauc par nepārtrauktu punktā \(x_0\), ja bezgalīgi mazam argumenta pieaugumam atbilst bezgalīgi mazs funkcijas pieaugums, t.i., ja limΔx0Δfx0=0.
Ievēro, ka funkcija ir pārtraukta punktā arī tad, ja šajā punktā tā nav definēta.
 
Secinājums no nepārtrauktības definīcijas
Funkciju \(y=f(x)\) sauc par nepārtrauktu punktā  \(x_0\), ja ir spēkā vienādība limxx0fx=fx0  jeb limxx0+0fx=limxx00fx=fx0
Pamatojums.
Pārveidosim funkcijas nepārtrauktības definīciju, zinot, ka Δfx0=f(x0+Δx)fx0.
No vienādības limΔx0Δfx0=0 seko, ka
 
limΔx0f(x0+Δx)fx0=0limΔx0f(x0+Δx)limΔx0fx0=0
 
Ievērojam, ka fx0 ir konstants lielums, tā robežas vērtība ir šis lielums. Tā kā Δx=xx0, tad no nosacījuma, ka Δx0  seko, ka  xx00  jeb  xx0.
 
Izmantojot pēdējo sakarību, iegūst:
limxx0f(x)f(x0)=0 jeb limxx0f(x)=f(x0).
Tas nozīmē: ja funkcija ir nepārtraukta punktā \(x_0\), tad funkcijas robeža, kad xx0, ir vienāda ar funkcijas vērtību punktā \(x_0\).
Piemērs:
Izpēti funkcijas y=x22 nepārtrauktību, ja \(x=3.\)
Atrisinājums.
Pārbaudīsim, vai funkcijas robeža, kad x3, ir vienāda ar funkcijas vērtību punktā \(x=3.\)
1) aprēķinām robežu
limx3x22=limx3x22=92=7
 
2) aprēķinām dotās funkcijas vērtību
f3=322=7
 
Redzam, ka limx3x22=f3. Tātad punktā \(x=3\) funkcija y=x22 ir nepārtraukta.
Piemērs:
Izpēti funkcijas \(y\) nepārtrauktību punktā \(x=1\), ja
y=3x,jax<13,jax=1x+1,jax>1
Risinājums.
limx10fx=31=2limx1+0fx=1+1=2f1=3
 
Tātad funkcija punktā \(x=1\) nav nepārtraukta, jo
limxx0+0fx=limxx00fxfx02=23.
Funkciju \(y=f(x)\) sauc par nepārtrauktu intervālā (a;b), ja tā ir nepārtraukta katrā šī intervāla punktā.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 1. daļa. izm. 84.lpp.-85. lpp.