2. Funkcijas nepārtrauktība

Viena no svarīgākajām funkcijas īpašībām ir funkcijas nepārtrauktība. Ģeometrisks priekšstats par šo īpašību saistās ar funkcijas grafiku kā nepārtrauktu līniju.

 

Ievēro, ka funkcija ir pārtraukta punktā arī tad, ja šajā punktā tā nav definēta.

 

Pārveidosim funkcijas nepārtrauktības definīciju, zinot, ka $\mathrm{\Delta }f\left(x_0\right)=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f\left(x_0\right)$.

No vienādības $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\mathit{lim}}\mathrm{\Delta }f\left(x_0\right)=0$ seko, ka

 

 

Ievērojam, ka $f\left(x_0\right)$ ir konstants lielums, tā robežas vērtība ir šis lielums. Tā kā $\mathrm{\Delta }x=x-x_0$, tad no nosacījuma, ka $\mathrm{\Delta }x\to 0$  seko, ka  $x-x_0\to 0$  jeb  $x\to x_0$.

 

Izmantojot pēdējo sakarību, iegūst:

$\underset{x\to x_0}{\mathit{lim}}f(x)-f(x_0)=0$ jeb $\underset{x\to x_0}{\mathit{lim}}f(x)=f(x_0)$.