Atvasinājuma ģeometriskā interpretācija — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Matemātika II - jauna tēma

"Atvasinājums un tā lietojums"

Izmantojot priekšstatu par grafika pieskari, noskaidrosim, kāda ģeometriskā ilustrācija ir funkcijas $f(x)$ atvasinājumam punktā $x_0$.

Pieņemsim, ka zīmējumā attēlotā līnija ir nepārtrauktas funkcijas $y = f (x)$ grafiks.

ģeometriskā jēga.svg

Caur līnijas punktiem $M_{0}$ un $M$ novilksim taisni $M_{0} M$ . Šo taisni sauc par sekanti.

Ar $β$ apzīmēsim leņķi, ko šī sekante veido ar $Ox$ ass pozitīvo virzienu.

Pieņemsim, ka punkts $M$ pārvietojas pa līniju, tuvojoties punktam $M_{0}$ , kurš ir nekustīgs. Tādā gadījumā arī sekante mainās. Punktam $M$, nonākot punktā $M_{0}$ , sekante $M_{0} M$ kļūst par līnijas pieskari punktā $M_{0}$ . Pieņemsim, ka pieskare ar $Ox$ asi veido leņķi $α$ .

Apskatīsim taisnleņķa trijstūri $M_{0} MN$ .

Šajā trijstūrī leņķis ${MM}_{0} N$ = $β$ , piekatete $M_{0} N$ sakrīt ar argumenta pieaugumu, t.i., $M_{0} N$ = $Δ$ $x$, pretkatete $MN$ sakrīt ar funkcijas pieaugumu, t.i., $MN$ = $Δ$ $y$.

No sakarībām taisnleņķa trijstūrī seko, ka $tg β = \frac{MN}{M_{0} N} = \frac{Δ y}{Δ x}$ .

Ja $Δ x \to 0$ , tad punkts $M \to M_{0}$ , sekante $M_{0} M \to$ pieskari punktā $M_{0}$ , $β \to α, tg β \to tg α$ jeb $tg α = \lim_{Δ x \to 0} tg β = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = f^{'} (x_{0})$ .