Teorija

Kā zināms, funkcijas \(y=f(x)\) atvasinājums ir punktā \(x_0\) ir skaitlis fx0, kas raksturo funkcijas izmaiņas ātrumu punktā \(x_0\). Aplūkosim atvasinājuma fizikālo nozīmi, kad funkcija apraksta kādu konkrētu procesu.
 
Krišanas momentānais ātrums
  
No fizikas zināms, ka ķermenim brīvi krītot, veikto ceļu \(h\) atkarībā no krišanas laika \(t\) atrod pēc formulas h=gt22, kur \(g\) ir gravitācijas paātrinājums.
Šī formula ir analītiska izteiksme funkcijai, kuras arguments ir laiks, bet funkcijas vērtība ir krītot veiktais ceļš.
 
Krišanas vidējais ātrums laika intervālā t0;t0+Δt ir attiecība ΔhΔt, kur
Δh ir ķermeņa noietais ceļš (pārvietojums) laika intervālā Δt. (Atceries, v=st).
 
Aprēķinām pārvietojuma pieaugumuΔh laika intervālā:
Δh=gt0+Δt22gt022==g2t0+Δt2t02==g2t02+2t0Δt+Δt2t02==g22t0Δt+Δt2
 
Aprēķinām krišanas vidējo ātrumu:
 
vvid=ΔhΔt=g22t0Δt+Δt2Δt=g22t0Δt+Δt2Δt=g22t0+Δt
 
Krišanas momentāno ātrumu laika momentā \(t_0\) definē kā vidējā ātruma robežu, kad Δt0.
v=limΔt0vvid=limΔt0g22t0+Δt=g22t0=gt0
Krišanas momentānais ātrums v=gt ir funkcijas h=gt22 atvasinājums: gt22=gt.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 1. daļa. izm. 96.lpp.-97. lpp.