Teorija

Izmantojot priekšstatu par grafika pieskari, noskaidrosim, kāda ģeometriskā ilustrācija ir funkcijas \(f(x)\) atvasinājumam punktā \(x_0\).

Pieņemsim, ka zīmējumā attēlotā līnija ir nepārtrauktas funkcijas \(y = f (x)\) grafiks.

ģeometriskā jēga.svg

Caur līnijas punktiem M0 un \(M\) novilksim taisni M0M. Šo taisni sauc par sekanti.

Ar β apzīmēsim leņķi, ko šī sekante veido ar \(Ox\) ass pozitīvo virzienu.

 

Pieņemsim, ka punkts \(M\)  pārvietojas pa līniju, tuvojoties punktam M0, kurš ir nekustīgs. Tādā gadījumā arī sekante mainās. Punktam \(M\), nonākot punktā M0, sekante M0M kļūst par līnijas pieskari punktā M0. Pieņemsim, ka pieskare ar \(Ox\) asi veido leņķi α.

 

Apskatīsim taisnleņķa trijstūri M0MN.

Šajā trijstūrī leņķis MM0N = β, piekatete M0N sakrīt ar argumenta pieaugumu, t.i., M0N = Δ\(x\), pretkatete \(MN\) sakrīt ar funkcijas pieaugumu, t.i., \(MN\) = Δ\(y\).

No sakarībām taisnleņķa trijstūrī seko, ka tgβ=MNM0N=ΔyΔx.

 

Ja Δx0, tad punkts MM0, sekante M0M pieskare punktā M0, βα,tgβtgα jeb tgα=limΔx0tgβ=limΔx0ΔyΔx=fx0.

Taisnes un \(Ox\) ass pozitīvā virziena veidotā leņķa tangensu sauc par taisnes virziena koeficientu, to apzīmē ar \(k\).

 Tādejādi atvasinājuma ģeometriskā interpretācija ir sekojoša:

Funkcijas atvasinājums punktā x0 ir vienāds ar tās pieskares virziena koeficientu, kas novilkta funkcijas grafikam punktā x0;fx0. fx0=k=tgα.

Izmantojot atvasinājuma ģeometrisko interpretāciju, var iegūt (skat. nākamā teorijā) funkcijas grafika pieskares vienādojumu:

Funkcijas grafika pieskares vienādojums ir y=fx0+fx0xx0  vai y=y0+tgαxx0.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 1. daļa. izm. 99. lpp.
Augstākā matemātika/ Inta Volodko. -Rīga, Zvaigzne ABC, 2007. -293 lpp.