Teorija

Atvasinājums dod priekšstatu par funkcijas izmaiņas ātrumu. Aplūkosim divus piemērus, lai salīdzinātu kuba funkcijas un kvadrātfunkcijas izmaiņas ātrumu konkrētā punktā.
Piemērs:
Atrast funkcijas y=x2 atvasinājumu fx un aprēķināt f3, izmantojot atvasinājuma definīciju.

Risinājums.

1) nosaka argumenta pieaugumam Δx atbilstošo funkcijas pieaugumu:

Δy=x+Δx2x2=x2+2xΔx+Δx2x2=2xΔx+Δx2

2) nosaka funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecību:

ΔyΔx=2xΔx+Δx2Δx=Δx(2x+Δx)Δx=2x+Δx

3) aprēķina iegūtās attiecības robežu, kad Δx0:

y=limΔx0ΔyΔx=limΔx02x+Δx=3x+0=2x

Tātad x2=2x.

Aprēķina funkcijas atvasinājumu punktā \(3\). Tā kā fx=2x, tad f3=23=6.

Piemērs:

Atrast funkcijas y=x3 atvasinājumu un aprēķināt f3!

Risinājums.

1) nosaka argumenta pieaugumam Δx atbilstošo funkcijas pieaugumu:
Δy=x+Δx3x3=x3+3x2Δx+3xΔx2+Δx3x3=3x2Δx+3xΔx2+Δx3
 
2) nosaka funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecību:
ΔyΔx=3x2Δx+3xΔx2+Δx3Δx=Δx(3x2+3xΔx+Δx2)Δx=3x2+3xΔx+Δx2
 
3) aprēķina iegūtās attiecības robežu, kad Δx0 :y=limΔx0ΔyΔx=limΔx03x2+3xΔx+Δx2=3x2+3x0+02=3x2

Tātad x3=3x2.

Aprēķina funkcijas atvasinājumu punktā \(3\). f3=332=27.

Kā redzams no abiem piemēriem, funkcijas y=x3 atvasinājums punktā x0=3 ir lielāks nekā funkcijas y=x2 atvasinājums šajā punktā. No tā var secināt, ka funkcija y=x3 punktā x0=3 aug ātrāk nekā funkcija y=x2.

 

Ne vienmēr funkcijas atvasina pēc definīcijas, jo tas ir sarežģīts un laikietilpīgs process. Biežāk to dara, izmantojot atvasināšanas formulas. Tomēr 12. klasē ir jāprot vienkāršu funkciju atvasināšana pēc definīcijas.

 

Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 1. daļa. izm. 93.lpp.-94. lpp.