Kuba un kvadrātunkcijas atvasināšana pēc definīcijas — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 11. KLASEI"

Atvasinājums dod priekšstatu par funkcijas izmaiņas ātrumu. Aplūkosim divus piemērus, lai salīdzinātu kuba funkcijas un kvadrātfunkcijas izmaiņas ātrumu konkrētā punktā.

Piemērs:

Atrast funkcijas

y = x^{2}

atvasinājumu

f^{'} (x)

un aprēķināt

f^{'} (3)

, izmantojot atvasinājuma definīciju.

Risinājums.

1) nosaka argumenta pieaugumam $Δ x$ atbilstošo funkcijas pieaugumu:

$Δ y = {(x + Δ x)}^{2} - x^{2} = x^{2} + 2 x \cdot Δ x + {(Δ x)}^{2} - x^{2} = 2 x \cdot Δ x + {(Δ x)}^{2}$

2) nosaka funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecību:

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{2 x \cdot Δ x + {(Δ x)}^{2}}{Δ x} = \frac{Δ x (2 x + Δ x)}{Δ x} = 2 x + Δ x$

3) aprēķina iegūtās attiecības robežu, kad $Δ x \to 0$ :

$y^{'} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} (2 x + Δ x) = 2 x + 0 = 2 x$

Tātad ${(x^{2})}^{'} = 2 x$ .

Aprēķina funkcijas atvasinājumu punktā $3$. Tā kā $f^{'} (x) = 2 x$ , tad $f^{'} (3) = 2 \cdot 3 = 6$ .

Piemērs:

Atrast funkcijas $y = x^{3}$ atvasinājumu un aprēķināt $f^{'} (3)$ !

Risinājums.

1) nosaka argumenta pieaugumam

Δ x

atbilstošo funkcijas pieaugumu:

Δ y = {(x + Δ x)}^{3} - x^{3} = x^{3} + 3 x^{2} Δ x + 3 x {(Δ x)}^{2} + {(Δ x)}^{3} - x^{3} = 3 x^{2} Δ x + 3 x {(Δ x)}^{2} + {(Δ x)}^{3}

2) nosaka funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecību:

\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{3 x^{2} Δ x + 3 x {(Δ x)}^{2} + {(Δ x)}^{3}}{Δ x} = \frac{Δ x (3 x^{2} + 3 x Δ x + {(Δ x)}^{2})}{Δ x} = 3 x^{2} + 3 x Δ x + {(Δ x)}^{2}

3) aprēķina iegūtās attiecības robežu, kad

Δ x \to 0

y^{'} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} (3 x^{2} + 3 x Δ x + {(Δ x)}^{2}) = 3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2} = 3 x^{2}

Tātad ${(x^{3})}^{'} = 3 x^{2}$ .

Aprēķina funkcijas atvasinājumu punktā $3$. $f^{'} (3) = 3 \cdot 3^{2} = 27$ .

Kā redzams no abiem piemēriem, funkcijas $y = x^{3}$ atvasinājums punktā $x_{0} = 3$ ir lielāks nekā funkcijas $y = x^{2}$ atvasinājums šajā punktā. No tā var secināt, ka funkcija $y = x^{3}$ punktā $x_{0} = 3$ aug ātrāk nekā funkcija $y = x^{2}$ .

Ne vienmēr funkcijas atvasina pēc definīcijas, jo tas ir sarežģīts un laikietilpīgs process. Biežāk to dara, izmantojot atvasināšanas formulas. Tomēr 12. klasē ir jāprot vienkāršu funkciju atvasināšana pēc definīcijas.

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 11. KLASEI"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

3. Kuba un kvadrātunkcijas atvasināšana pēc definīcijas

Teorija