27.
maijā
Eksāmens MATEMĀTIKĀ 9.KLASEI
Trenējies ŠEIT!

Teorija

Svarīgs jēdziens, kas raksturo funkciju ir atvasinājums. Atvasinājums dod priekšstatu par to, cik strauji notiek izmaiņas procesos pie dažādiem argumentiem. 
 
Aplūkosim funkciju \(y=f(x)\) intervālā x0;x0+Δx, kur Δx ir argumenta pieaugums.
atvasinājums.svg
Funkcijas pieaugums šajā intervālā ir Δfx0=fx0+Δxfx0.
 
Sastādīsim funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecību Δfx0Δx.
 
Ar šo attiecību definē jēdzienu "funkcijas izmaiņas vidējais ātrums intervālā x0;x0+Δx". Analoģiski fizikā definē jēdzienu "kustības vidējais ātrums kādā laika vienībā."
 
Tomēr, ja \(f\) nav lineāra funkcija, attiecība Δfx0Δx ir atkarīga no intervāla x0;x0+Δx garuma: mainot Δx, mainās Δfx0 un mainās arī šī attiecība. Tāpēc, lai noteiktu funkcijas izmaiņas ātrumu tieši punktā \(x_0\), ir jāaplūko funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecība arvien mazākā intervālā x0;x0+Δx, t. i., - jāatrod šīs attiecības robeža, kad intervāla garums Δx tiecas uz nulli: limΔx0Δfx0Δx.
Par funkcijas atvasinājumu punktā \(x_0\) sauc funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu šajā punktā, kad argumenta pieaugums tiecas uz nulli.
Funkcijas y=f(x) atvasinājumu visbiežāk apzīmē ar simbolu fx0, lasa "ef prim no \(x\) nulles".
  
 
Funkcijas pieaugumu var apzīmēt ar Δy, tad funkcijas atvasinājumu pieraksta: y=limΔx0ΔyΔx.

Funkcijas atvasinājuma atrašanu sauc par funkcijas atvasināšanu vai diferencēšanu.

No atvasinājuma definīcijas izriet, ka funkcijas \(y=f(x)\) atvasinājumu argumenta vērtībai \(x\) atrod pēc šāda algoritma:

1) nosaka argumenta pieaugumam Δx atbilstošo funkcijas pieaugumu Δy=fx+Δxfx;

2) sastāda ΔyΔx (funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecību) un vienkāršo to;

3) aprēķina šīs attiecības robežu, kad Δx0.

  fx=limΔx0fx+ΔxfxΔx

Piemērs:

Atrast lineāras funkcijas y=ax+b atvasinājumu y, izmantojot atvasinājuma definīciju.

Risinājums.

1) nosaka argumenta pieaugumam Δx atbilstošo funkcijas pieaugumu:

Δy=fx+Δxfx==ax+Δx+baxb==ax¯+aΔx+b¯¯ax¯b¯¯==aΔx

2) nosaka funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecību:

ΔyΔx=aΔxΔx=a

3) aprēķina iegūtās attiecības robežu, kad Δx0:

y=limΔx0ΔyΔx=limΔx0a=a

Tātad ax+b=a.

Redzam, ka lineāras funkcijas atvasinājums ir konstants skaitlis visām \(x\) vērtībām. Tātad lineāra funkcija y=ax+b visos definīcijas apgabala punktos aug ar vienādu ātrumu (šo īpašību uzskatāmi ilustrē funkcijas grafiks - taisne).

Nākošos piemēros salīdzināsim kuba funkcijas un kvadrātfunkcijas izmaiņas ātrumu noteiktā punktā. Prognozē, kura funkcija aug straujāk!

 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 1. daļa. izm. 93.lpp.-94. lpp.