Trigonometriskais vienādojums ar substitūcijas metodi

Risinot vienādojumus ar substitūcijas metodi, kādu vienādojuma daļu, kas satur nezināmo, aizvieto ar citu mainīgo. Šo jauno nezināmo izvēlas tā, lai rezultātā iegūtu pēc iespējas vienkāršāku vienādojumu.

Pēc jaunā vienādojuma atrisināšanas, vienmēr jāatgiežas pie substitūcijas un jāaprēķina dotā vienādojuma saknes.

Piemērs:

Atrisini kvadrātvienādojumu!

2 \cos^{2} x - 3 \cos x + 1 = 0

Risinājums

Tā kā vienādojums satur tikai funkciju \(cosx\), apzīmē

cosx = y

Iegūst kvadrātvienādojumu

2 y^{2} - 3 y + 1 = 0

Atrisina šo kvadrātvienādojumu:

\begin{array}{l} D = b^{2} - 4 ac = {(-3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 \\ \sqrt{1} = 1 \end{array}

\begin{array}{l} y_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- (-3) + 1}{2 \cdot 2} = 1 \\ y_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- (-3) - 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \end{array}

Tālāk dotais vienādojums reducējas uz šādu divu vienādojumu atrisināšanu:

\begin{array}{l} cosx = 1 \\ cosx = \frac{1}{2} \end{array}

\begin{array}{l} cosx = 1 \\ x = 0 + 2 π k \\ k \in ℤ \end{array}

\begin{array}{l} cosx = \frac{1}{2} \\ x = [\begin{array}{l} \frac{π}{3} + 2 π n \\ - \frac{π}{3} + 2 π n \end{array} \\ n \in ℤ \end{array}

Atbilde:

x = 2 π k, x = \frac{π}{3} + 2 π n, x = - \frac{π}{3} + 2 π n

, kur

n \in ℤ, k \in ℤ

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

3. Trigonometriskais vienādojums ar substitūcijas metodi

Teorija