Teorija

Aplūkosim eksponenciāli augoša procesa piemēru.
 
Bankā noguldīti 800 eiro ar salikto procentu likmi 4% gadā. Aprēķini cik liela būs noguldījuma summa pēc 20 gadiem. Nosaki formulu, ar kuras palīdzību var aprēķināt noguldījuma summu pēc \(n\) gadiem, ja noguldījuma procenti netiek mainīti.
 
Ievēro! Saliktos procentus (procentu procentus) izmanto tad, ja atlīdzība par naudas darījumu tiek sadalīta vairākos periodos, turklāt procenti tiek aprēķināti gan no sākuma kapitāla, gan no procentiem, kas uzkrājušies iepriekšējā periodā.
 
Uzrakstīsim izteiksmi, kas izsaka, kāda būs noguldījuma summa (eiro) pēc viena gada.
800+4%no800==800¯+0,04800¯==800¯(1+0,04)
  
Izmantojot iegūto izteiksmi, noteiksim, kāda būs noguldījuma summa (eiro) pēc diviem gadiem.
8001+0,04+4%no8001+0,04==8001+0,04¯+0,048001+0,04¯==800(1+0,04)¯(1+0,04)=800(1+0,04)2
 
Cik eiro noguldījuma summa būs pēc trīs gadiem?
 800(1+0,04)2+4%no800(1+0,04)2==800(1+0,04)2¯+0,04800(1+0,04)2¯==800(1+0,04)2¯(1+0,04)==800(1+0,04)3
 
Viegli redzēt, ka pēc \(t\) gadiem noguldījuma summa būs 8001+0,04t eiro.
 
Ja funkciju apzīmē ar \(N,\) iegūst formulu:
N(t)=8001,04t.
 
Tā kā \(t\) ir vesels skaitlis (gadi), tad funkcija veido skaitļu virkni un to ir pieņemts rakstīt sekojoši:
Nt=8001,04t
 
Bankā noguldītās naudas summas un procenti ir mainīgi.
Ja sākuma kapitālu apzīmē ar N0 un procentu likmi ar \(p\), iegūst formulu, ar kuru var aprēķināt noguldījuma summu pēc \(t\) gadiem
Nt=N01+p100t.
Atgriežamies pie dotā uzdevuma.
Ievietojot parametrus var aprēķināt, kāda naudas summa bankā būs pēc 20 gadiem.
N0=800p=4t=20
N20=8001,04201752,9 (eiro).
 
Lai aprēķinātu naudas summu, atliek funkcijā ievietot atbilstošos parametrus.
Aplūkosim jautājumu, uz kuru atbildot, ir jārēķina vienādojums.
 
Bankā noguldīti 800 eiro ar salikto procentu likmi 4% gadā. Aprēķini, pēc cik gadiem naudas summa divkāršosies?
  
Nt=8001,04t8001,04t=2800|:8001,04t=2
 
Izteiksmi pārveido pēc logaritma definīcijas. Izsakot kāpinātāju \(t\), iegūst:
t=log1,042
 
Logaritmu aprēķina ar IT palīdzību, vispirms pārejot uz decimāllogaritmu vai uz naturāllogaritmu, pēc formulas: logab=logcblogca
 
t=log1,042t=ln2ln1,04t17,6718
 
Tātad naudas summa dubultosies pēc 18 gadiem.
 
Pārbaude:
 800 ·1,0418 = 1620,653 (eiro)
Redzam, ka pēc \(17\) gadiem naudas summa vēl nebūs sasniegusi \(1600\) eiro:
800 ·1,0417 = 1558,32 (eiro)
 
Komentārs par vienādojumu atrisinājumu, kuros aprēķina laiku
  
Ievēro, ka parasti skaitļus noapaļo pēc skaitļu noapaļošanas likumiem. Ja skaitli, kas izsaka laiku, noapaļo ar iztrūkumu, rodas situācija, ka vēl nebūs sasniegta nepieciešamā vērtība (nauda, masa u.c.). Tādā gadījumā vajadzētu pieskaitīt vēl vienu laika vienību. Tāpēc Uzdevumi.lv šī veida uzdevumos prasa aprēķināt aptuveno laika vienību skaitu vai arī norāda - noapaļot līdz simtdaļām vai desmitdaļām.
Piemēram, jautājums - pēc cik gadiem būs sasniegta noteikta summa, vai - cik gadiem jāpaiet, lai būtu sasniegta noteikta summa, nepieļauj noapaļošanu ar iztrūkumu.
Rēķinot konkrētu uzdevumu klasē, noapaļojot līdz veselai laika vienībai, to jāņem vērā!
 
Atsauce:
 
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Āboltiņa B., Kriķis D., Šteiners K., Matemātika 10. klasei. Rūga: Zvaigzne ABC, 2012, izm. 211. lpp.
Slokenberga E. France I., Matemātika 10. klasei, Rīga: Lielvārds,izm.134.lpp.