8. Dispersija un standartnovirze grupētiem datiem

Datu kopā parasti ir daudz elementu, tāpēc starp tiem var būt arī vienādi elementi.

Pieņemsim, ka datu kopā, kuras apjoms ir \(n\), variantes $x_i$ (datu kopas pazīmes vērtības) atkārtojas $f_i$ reizes.

 

Tad visus datus var pierakstīt kā šādu varianšu rindu:

Variante	$x_1$	$x_2$	…	$x_k$
Biežums	$f_1$	$f_2$	…	$f_k$

 

Tātad kopas apjoms $n=f_1+f_2+...f_k=\sum _{i=1}^k{f}_i$.

 

Noteiksim aritmētisko vidējo $\overline{x}$. Ievēro, ka grupētu datu gadījumā $\overline{x}$ sauc par svērto aritmētisko vidējo (statistikā varianšu reizināšanu ar to biežumiem sauc par svēršanu).

 

Ja dati biežuma tabulā ir sagrupēti vērtību intervālos, tad aprēķinot aritmētisko vidējo, par varianšu $x_i$ vērtībām pieņem lielumus, kas atbilst intervālu viduspunktiem.

 

Lielumi, kas raksturo datu izkliedi ap aritmētisko vidējo ir vidējā absolūtā novirze, dispersija un standartnovirze.

$s^2=\frac{\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Sigma }}}{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2{f}_i}{n}$
 

Dispersiju statistikā lieto kā starprezultātu, lai no tās izveidotu citus būtiskākus rādītājus, piemēram, standartnovirzi.
 
Izvelkot kvadrātsakni no dispersijas, iegūst standartnovirzi, ko apzīmē ar $s$.

 

Tātad, ja dati ir grupēti (sakārtoti biežuma tabulā), tad
$s=\sqrt{\frac{{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2\cdot f_1+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2\cdot f_2+...+{\left(x_k-\overline{x}\right)}^2\cdot f_k}{n}}$ 

(Ievēro - \(k\) ir biežumu skaits, tas nav tas pats, kas \(n\)).

   

Lai aprēķinātu standartnovirzi grupētiem datiem, ievēro soļus:

1. Aprēķina $\overline{x}$ jeb datu kopas vidējo (aritmētisko) vērtību;

2. Aprēķina $\left|x_i-\overline{x}\right|$ jeb katras pazīmes absolūto novirzi no vidējās vērtības;

3. Aprēķina ${\left(x_i-\overline{x}\right)}^2$ jeb katras absolūtās novirzes kvadrātu;

4. Aprēķina katras novirzes kvadrātu kopskaitu: ${\left(x_i-\overline{x}\right)}^2{f}_i$;

5. Aprēķina noviržu kvadrātu summu: $\sum _{i=1}^k{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2{f}_i$;

6. Aprēķina noviržu kvadrātu vidējo vērtību, t.i. dispersiju: $s^2=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Sigma }}}\frac{{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2{f}_i}{n}$;

7. Aprēķina standartnovirzi $s=\sqrt{s^2}$.

 

Aprēķinus veikt ir daudz vieglāk, ja attiecīgās darbības attēlo tabulā.

 

Variantes $x_i$	Biežumi $f_i$	$x_i{f}_i$	$\left|x_i-\overline{x}\right|$	${\left(x_i-\overline{x}\right)}^2$	${\left(x_i-\overline{x}\right)}^2\cdot f_i$
...	...	…	...	…	…
		$\sum _{i=1}^k{x}_i{f}_i$			$\sum _{i=1}^k{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2{f}_i$

Tomēr parasti datu kopas izkliedes mērus rēķina, izmantojot IT rīkus (\(s\) rēķināšanai Excel lieto funkciju STDEV.P).

 

Ja standartnovirzi rēķina populācijai, aprēķinot to no izlases, tad standartnovirzi apzīmē ar $\mathrm{\sigma }$.

 

Šo standartnovirzi $\mathrm{\sigma }$ Excel rēķina ar funkciju STDEV.S.