Video mācību materiāli
"MATEMĀTIKA II"
Kas mums no pamatskolas ir zināms par četrstūru diagonālēm?
  • Paralelograma diagonāles krustpunktā dalās uz pusēm.
  • Romba un kvadrāta diagonāles ir perpendikulāras, tāpēc risinājumos var izmantot sakarības taisnleņķa trijstūrī (Pitagora teorēmu, sin, cos, tg).
  • Taisnstūra un kvadrāta diagonāles ir vienāda garuma.
  
Pierādīsim vēl vienu teorēmu par paralelograma diagonālēm.
Paralelograma diagonāļu kvadrātu summa ir vienāda ar tā malu kvadrātu summu.
Dots: paralelograms ar malām \(a\), \(b\) un diagonālēm d1,d2.
Jāpierāda: d12+d22=2a2+2b2
 YCUZD_221019_4567_Pierādījumi vektorisummaun starp.svg
 
Pierādījums
Uzzīmējam paralelogramu  \(ABCD\).
Izvēlēsimies uz tā malām vektorus AB=a,AD=b.
Redzam, ka šajā gadījumā diagonāles ir vektoru summa un starpība:
AC=a+bDB=ab
 
Uzrakstām diagonāļu kvadrātu summu:
AC2=a+b2DB2=ab2AC2+DB2=a+b2+ab2==a2+2ab+b2+a22ab+b2==2a2+2b2==2a2+2b2
 
Ievēro, vektora skalārais kvadrāts ir tā garuma kvadrāts, tāpēc pēc kāpināšanas kvadrātā vektora zīmi vairs neraksta.
 
AC=d1,DB=d2, tad d12+d22=2a2+2b2
Tas bija jāpierāda.
 
 
Šo sakarību viegli pierādīt arī ar kosinusu teorēmu:
c2=a2+b22abcosC, kur leņķi \(C\) veido trijstūra malas \(a\) un \(b\).
 
Izmantosim to pašu zīmējumu, bet neņemsim vērā, ka uz malām ir atlikti vektori.
YCUZD_221019_4567_Pierādījumi planimetrijā.svg
Dots: paralelograms
Jāpierāda: paralelograma diagonāļu kvadrātu summa ir vienāda ar tā malu kvadrātu summu.
Pierādījums
Uzzīmējam paralelogramu  \(ABCD\).
Izvēlamies trijstūrus, kuru viena mala ir paralelograma diagonāle: trijstūri \(ABD\) un \(ABC\).
Katrā trijstūrī pielietosim kosinusu teorēmu:
ΔABDDB2=AB2+AD22ABADcosA(1)ΔABCAC2=AB2+BC22ABBCcosB
 
Zimāms, ka paralelograma malas pieleņķu summa ir \(180°.\)
Tāpēc
AC2=AB2+BC22ABBCcos180°Acos180°A=cosAAC2=AB2+BC2+2ABBCcosA(2)
 
Saskaitot vienādības (1) un (2), iegūst:
DB2+AC2=AB2+AD2+AB2+BC2AD=BCDB2+AC2=2AB2+2BC2
 
Paralelograma diagonāļu kvadrātu summa ir vienāda ar tā malu kvadrātu summu.
Tas bija jāpierāda.
Formula ir dota matemātika I formulu lapā.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa