4. jūnijs - MATEMĀTIKA
EKSĀMENS 9. KLASEI
Funkciju $y={\mathrm{log}}_{a}x$, kur $a>0,\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}a\ne 1$, sauc par logaritmisko funkciju.
Definīcijas apgabals $D\left(y\right)=\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$ (tikai pozitīvi skaitļi).
Vērtību apgabals $E\left(y\right)=\mathrm{ℝ}$ (visi reālie skaitļi).

Lai konstruētu funkcijas $y={\mathrm{log}}_{a}x$ grafiku, sastāda vērtību tabulu, par argumenta vērtībām izvēloties gan daļas, gan veselus skaitļus.
Piemērs:
1. Konstruē grafiku funkcijai $y={\mathrm{log}}_{2}x$.

 $x$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{2}$ 1 2 4 $y$ −2 −1 0 1 2

$\begin{array}{l}{\mathrm{log}}_{2}\left(\frac{1}{2}\right)=-1,\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\mathrm{jo}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}{2}^{-1}=\frac{1}{2}\\ {\mathrm{log}}_{2}1=0\phantom{\rule{0.147em}{0ex}},\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\mathrm{jo}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}{2}^{0}=1\\ {\mathrm{log}}_{2}2=1,\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\mathrm{jo}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}{2}^{1}=2\end{array}$

Ievēro!
$\begin{array}{l}\underset{x\to +0}{\mathrm{lim}}{\mathrm{log}}_{2}x=-\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{lim}}{\mathrm{log}}_{2}x=+\mathrm{\infty }\end{array}$

Piemērs:
2. Konstruē grafiku funkcijai $y={\mathrm{log}}_{\frac{1}{2}}x$.

 $x$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{2}$ 1 2 4 $y$ 2 1 0 −1 −2

$\begin{array}{l}{\mathrm{log}}_{\frac{1}{2}}2=-1,\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\mathrm{jo}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}=2\\ {\mathrm{log}}_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{4}\right)=2,\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\mathrm{jo}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2}=\frac{1}{4}\end{array}$

$\begin{array}{l}\underset{x\to +0}{\mathrm{lim}}{\mathrm{log}}_{2}x=+\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{lim}}{\mathrm{log}}_{2}x=-\mathrm{\infty }\end{array}$

Logaritmiskā funkcija krusto $\mathit{Ox}$ asi punktā $\left(1;\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}0\right)$, bet nekrusto $\mathit{Oy}$ asi.
Svarīgi!
Funkcijas monotonitāte ir atkarīga no parametra $a$ vērtības:
ja $a>1$, funkcija aug (skat. 1. piemēru)
ja $0, tad funkcija dilst (skat. 2. piemēru)
Logaritmiskā funkcija nav periodiska, nav ne pāra, ne nepāra funkcija.

Logaritmiskā funkcija un eksponentfunkcija ir savstarpēji inversas funkcijas, to grafiki ir simetriski pret taisni $y=x$.
Piemērs:
Salīdzini funkciju $y={2}^{x}$ un $y={\mathrm{log}}_{2}x$ grafikus!

Funkciju $y={2}^{x}$ un $y={\mathrm{log}}_{2}x$ grafiki ir simetriski pret taisni $y=x$.

Abas funkcijas ir augošas.

$y={2}^{x}$ vērtību apgabals ir vienāds ar $y={\mathrm{log}}_{2}x$ definīcijas apgabalu: $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$

$y={2}^{x}$ definīcijas apgabals ir vienāds ar $y={\mathrm{log}}_{2}x$ vērtību apgabalu: tas ir $\mathrm{ℝ}$ (visi reālie skaitļi).