Teorija

Logaritma pamatidentitāte: alogab=b(a>0;a1;b>0)
Logaritma īpašības
  
1) Skaitļa 1 logaritms pie jebkuras bāzes ir 0:
loga1=0, jo a0=1.
  
2) Ja logaritmējamais skaitlis ir vienāds ar logaritma bāzi, tad logaritma vērtība ir skaitlis 1: logaa=1, jo a1=a
 
3) Divu pozitīvu skaitļu x un y reizinājuma logaritms ir vienāds ar šo skaitļu logaritmu summu: loga(xy)=logax+logay
 
Pierādījums.
Pēc logaritma pamatidentitātes \(x\) un \(y\) var izteikt kā pakāpes ar bāzi \(a\):
x=alogax;y=alogaylogaxy=logaalogaxalogay
Pēc pakāpju īpašības aman=am+n, seko, ka
logaxy=logaalogax+logay=loga+logay
 
 
4) Divu pozitīvu skaitļu dalījuma logaritms ir vienāds ar dalāmā un dalītāja logaritmu starpību: logaxy=logaxlogay
 
5) Pozitīva skaitļa pakāpes logaritms ir vienāds ar kāpinātāja reizinājumu ar skaitļa logaritmu: logaxk=klogax
Svarīgi!
No 2) un no 5) īpašības izriet, ka jebkuru skaitli var uzrakstīt kā logaritmu: m=logaam, kur a>0, a1
6)  logakx=1klogax
 
7) Logaritmu no jebkuras bāzes var pārveidot uz citu bāzi, izmantojot formulu: logab=logcblogca, ja a>0,b>0,a1.
Ievēro - \(c\) ir jebkurš skaitlis, kurš apmierina nosacījumus c>0,c1.
 
Secinājums: bāzi un zemlogaritma izteiksmi var mainīt vietām, izmantojot sakarību: logab=1logba, ja b1.
 
  
6. īpašības pierādījums.
Pēc pamatidentitātes b=alogab, tātad
logcb=logcalogab
 
Izmantojot pakāpes logaritma īpašību logcak=klogca, kāpinātāju var uzrakstīt pirms logaritma:
logcb=logablogca
jeb
logablogca=logcb
 
Abas vienādības puses izdala ar  logca(logca0jeba1)
logablogca=logcb|:logcalogab=logcblogca