Teorija

Ja no vienādības y=fx var izteikt x kā funkciju no y, t.i., x=gy, kas definēta visām \(y\)  vērtībām funkcijas \(y=f(x)\) vērtību apgabalā, tad funkciju \(x=g(y)\) sauc par funkcijas \(y=f(x)\) apvērsto jeb inverso funkciju.
Tā kā argumentu parasti apzīmē ar burtu x, bet funkciju - ar y, tad maina vietām burtus x un y.
 
 
Inversās funkcijas eksistence
 
Funkcijai inversā funkcija eksistē tikai tajos intervālos, kuros tā ir stingri monotona (vai nu tikai augoša, vai tikai dilstoša).
Ja funkcija \(f(x)\) ir monotona (augoša vai dilstoša) kādā intervālā \([a;b]\) un tās vērtību apgabals ir intervāls \([c;d]\) , tad intervālā \([c;d]\) tai eksistē inversā funkcija, kas arī ir monotona (augoša vai dilstoša).
Ja funkcija nav monotona visā definīcijas apgabalā, tad, lai izveidotu inverso funkciju, dotā funkcija ir jāaplūko kādā definīcijas apgabala intervālā, kurā tā ir vai nu augoša, vai dilstoša.
 
Aplūkosim piemēru.
Atrodi kvadrātfunkcijas y=x+12 inverso funkciju. Nosaki inversās funkcijas definīcijas un vērtību apgabalu!
Atrisinājums:
Skicējam doto funkciju.
YCUZD20052022_3785_Inversā funkcija.svg
 
Savā definīcijas apgabalā ;+ šī funkcija nav monotona. Intervālā (;1] tā ir dilstoša, bet intervālā [1;+) tā ir augoša.
Lai iegūtu inverso funkciju, dotā funkcija ir jāaplūko kādā definīcijas apgabala intervālā.
  
1) Izvēlēsimies intervālu, kurā funkcija y=x+12 ir augoša, uzskatīsim, ka definīcijas apgabals \(D(f)=\)[1;+).
Lai iegūtu inversās funkcijas izteiksmi, no vienādības y=x+12 izsaka \(x\):
x+12=yx+1=±yx=±y1
 
Katrai \(y\) vērtībai no intervāla [0;+) atbilst divas \(x\) vērtības, bet, tā kā dotā funkcija tiek aplūkota tikai augšanas intervālā, tad izteiksmē x=±y1 pirms kvadrātsaknes jāņem plusa zīme. Tādējādi ar izteiksmi x=y1 iegūstam viennozīmīgu atbilstību starp \(y\) un atbilstošajām \(x\) vērtībām.
 
Apzīmējot šajā izteiksmē argumentu ar \(x\) un funkciju ar \(y\), iegūstam inversās funkcijas izteiksmi y=x1.
Tās grafiku iegūst, attēlojot funkcijas y=x+12 grafiku intervālā [1;+) simetriski pret taisni \(y=x\).
 
YCUZD20052022_3785_Inversā funkcija_1.svg
 
Inversās funkcijas y=x1 definīcijas apgabals ir  [0;+) (dotās funkcijas vērtību apgabals), bet vērtību apgabals ir [1;+) (tas atbilst mūsu izvēlētajam dotās funkcijas definīcijas apgabalam).
 
2)  Izvēlēsimies intervālu, kurā dotā funkcija y=x+12 ir dilstoša, uzskatīsim, ka definīcijas apgabals ir (;1]. Iegūst inverso funkciju y=x1. Attēlā dots izvēlētās funkcijas un tās inversās funkcijas grafikus.
 
YCUZD20052022_3785_Inversā funkcija_2.svg
 
Inversās funkcijas y=x1 definīcijas apgabals ir  [0;+) (dotās funkcijas vērtību apgabals), bet vērtību apgabals ir (;1] (tas atbilst mūsu izvēlētajam dotās funkcijas definīcijas apgabalam).
 
Uzdevumos parasti ir norādīts intervāls, kurā jāatrod kvadrātfunkcijas inversā funkcija.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Ziobrovskis V., Siliņa B., Algebra vidusskolai 1. daļa. Rīga Zvaigzne ABC, 1999, 235.lpp.
Kriķis D., Šteiners K., Matemātiskās analīzes elementi 1. daļa, Rīga, Zvaigzne ABC 2018., 28.lpp.