27.
maijā
Eksāmens MATEMĀTIKĀ 9.KLASEI
Trenējies ŠEIT!

Teorija

Integrāļa lietojums fizikā (mehānikā)
 
Ja ir zināma paātrinājuma izteiksme, ar nenoteikto integrāli var noteikt ātruma izteiksmi:
vt=atdt
 
Ja ir zināma ātruma izteiksme, ar nenoteikto integrāli var izrēķināt koordinātu:
xt=vtdt
 
Ja ir zināma ātruma izteiksme un laiks, ar noteikto integrāli var aprēķināt veikto ceļu:
s=t1t2vtdt=xtt2t1
 
Ja ir zināma spēka izteiksme atkarībā no koordinātas un ceļš veikts taisnā posmā, tad ar noteikto integrāli var aprēķināt veikto darbu:
A=x1x2Fxdx, kur x1,x2 - sākuma un beigu koordināta.
Piemērs:
Aprēķini taisnvirziena kustības ātrumu laika momentā \(t=3s\), ja zināms, ka paātrinājums tiek rēķināts pēc likuma \(a(t)=(5-2t)\)ms2 un ķermenis uzsāk kustību no miera stāvokļa. Aprēķini veikto ceļu kustības pirmajās \(6\) sekundēs.
 
Risinājums.
Tā kā ķermenis uzsāk kustību no miera stāvokļa, tad \(v(0)=0\).
 
Ātruma izteiksmi iegūstam, integrējot paātrinājuma izteiksmi:
vt=atdt=52tdt=5tt2+C
Konstante \(C\) sakrīt ar sākuma ātrumu, tātad \(C=0\).
 
Ātruma izteiksme ir vt=5tt2.
 
Aprēķinām ātrumu pēc \(3\) sekundēm.
v3=5332=159=6m/s
Tātad pēc \(3\) sekundēm ķermenis ir sasniedzis ātrumu ir \(6\) metri sekundē.
 
Ja ir zināma ātruma izteiksme un laiks, ar noteikto integrāli var aprēķināt veikto ceļu:
s=t1t2vtdt=065tt2dt==5t22t3360=53626330==9072=18m
 
Tātad veiktais ceļš pirmajās \(6\) sekundēs ir \(18\) metri.
Aplūkosim piemēru par mainīga spēka veikto darbu.
Piemērs:
Zināms, ka izstiepjot atsperi par \(1\) cm, nepieciešams \(3 N\) liels spēks. Aprēķini darbu, kas jāveic, izstiepjot atsperi par \(6\) cm.
 
Risinājums.
No fizikas zinām, ka atsperes izstiepšanai nepieciešamais spēks ir proporcionāls tās galapunkta pārvietojumam \(x.\) Tātad \(F(x)=kx\), kur proporcionalitātes koeficients \(k\) ir atkarīgs no atsperes elastības īpašībām. \(1cm=0,01m\).
Pēc dotā F(0,01)=3. Tātad
0,01k=3k=300
 
Esam ieguvuši spēka izteiksmi \(F(x)=300x.\)
Ja ir zināma spēka izteiksme atkarībā no koordinātas un ceļš veikts taisnā posmā, tad ar noteikto integrāli var aprēķināt veikto darbu:
A=x1x2Fxdx, kur x1,x2 - sākuma un beigu koordināta.
A=00,06Fxdx=00,06300xdx==150x20,060=1500,062=0,54(J)
Atbilde: Jāveic \(0,54 J\) liels darbs.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs, Skola2030 eksperts.
Kriķis D., Šteiners K., Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai 2. daļa, Rīga: Zvaigzne ABC, 2018, 60. lpp.