ONLINE VIDEO KURSS
"MATEMĀTIKA 11. KLASEI"
Integrāļa lietojums fizikā (mehānikā)
 
Ja ir zināma paātrinājuma izteiksme, ar nenoteikto integrāli var noteikt ātruma izteiksmi:
vt=atdt
 
Ja ir zināma ātruma izteiksme, ar nenoteikto integrāli var izrēķināt koordinātu:
xt=vtdt
 
Ja ir zināma ātruma izteiksme un laiks, ar noteikto integrāli var aprēķināt veikto ceļu:
s=t1t2vtdt=xtt2t1
 
Ja ir zināma spēka izteiksme atkarībā no koordinātas un ceļš veikts taisnā posmā, tad ar noteikto integrāli var aprēķināt veikto darbu:
A=x1x2Fxdx, kur x1,x2 - sākuma un beigu koordināta.
Piemērs:
Aprēķini taisnvirziena kustības ātrumu laika momentā t=3s, ja zināms, ka paātrinājums tiek rēķināts pēc likuma at=52tms2 un ķermenis uzsāk kustību no miera stāvokļa. Aprēķini veikto ceļu kustības pirmajās \(6\) sekundēs.
 
Risinājums.
Tā kā ķermenis uzsāk kustību no miera stāvokļa, tad \(v(0)=0\).
 
Ātruma izteiksmi iegūstam, integrējot paātrinājuma izteiksmi:
vt=atdt=52tdt=5tt2+C
Konstante \(C\) sakrīt ar sākuma ātrumu, tātad \(C=0\).
 
Ātruma izteiksme ir vt=5tt2.
 
Aprēķinām ātrumu pēc \(3\) sekundēm.
v3=5332=159=6m/s
Tātad pēc \(3\) sekundēm ķermenis ir sasniedzis ātrumu ir \(6\) metri sekundē.
 
Ja ir zināma ātruma izteiksme un laiks, ar noteikto integrāli var aprēķināt veikto ceļu:
s=t1t2vtdt=065tt2dt==5t22t3360=53626330==9072=18m
 
Tātad veiktais ceļš pirmajās \(6\) sekundēs ir \(18\) metri.
Aplūkosim piemēru par mainīga spēka veikto darbu.
Piemērs:
Zināms, ka izstiepjot atsperi par \(1\) cm, nepieciešams \(3\) N liels spēks. Aprēķini darbu, kas jāveic, izstiepjot atsperi par \(6\) cm.
 
Risinājums.
No fizikas zinām, ka atsperes izstiepšanai nepieciešamais spēks ir proporcionāls tās galapunkta pārvietojumam \(x.\) Tātad \(F(x)=kx\), kur proporcionalitātes koeficients \(k\) ir atkarīgs no atsperes elastības īpašībām. 1cm=0,01m.
Pēc dotā F(0,01)=3. Tātad
0,01k=3k=300
 
Esam ieguvuši spēka izteiksmi \(F(x)=300x.\)
Ja ir zināma spēka izteiksme atkarībā no koordinātas un ceļš veikts taisnā posmā, tad ar noteikto integrāli var aprēķināt veikto darbu:
A=x1x2Fxdx, kur x1,x2 - sākuma un beigu koordināta.
A=00,06Fxdx=00,06300xdx==150x20,060=1500,062=0,54(J)
Atbilde: Jāveic \(0,54\) J liels darbs.