Teorija

Vispārīgā funkcijas pētīšanas shēma
  
1. Atrod funkcijas definīcijas apgabalu.
2. Noskaidro, vai funkcija ir pāra vai nepāra.
3. Noskaidro, vai funkcija ir periodiska, atrod periodu.
4. Atrod funkcijas grafika krustpunktus ar koordinātu asīm un nosaka vienādzīmju intervālus, kuros funkcija ir pozitīva un kuros - negatīva (ja vienādojuma atrisināšana nerada grūtības).
5. Atrod 1. kārtas atvasinājumu, nosaka funkcijas augšanas un dilšanas intervālus un aprēķina ekstrēma punktu koordinātas.
6. Atrod 2. kārtas atvasinājumu, nosaka grafika izliekuma un ieliekuma intervālus un aprēķina pārliekuma punktu koordinātas.*
7. Atrod grafika asimptotas.**
8. Atrod funkcijas vienpusējās robežas definīcijas apgabala intervālu galos, atrod funkcijas vērtības pēc vajadzības izraudzītos papildpunktos.
Piemērs:
Konstruē funkcijas y=x36x2+9x3 grafiku!
  
1. Funkcija ir definēta visām reālām \(x\) vērtībām.
2. Funkcija nav ne pāra, ne nepāra
fx=x36x2+9x3=x36x29x3fxfxfx=x3+6x2+9x+3fxfx
3. Funkcija nav periodiska.
 
4. Krustpunkts ar \(Oy\) asi, ja \(x=0.\)
f0=03602+903=3
 
Koordinātu asīs atliekam punktu \((0;-3).\)
 
Lai noteiktu grafika krustpunktus ar \(Ox\) asi, būtu jāatrisina vienādojums x36x2+9x3=0. Šajā gadījumā tas ir grūti, tāpēc to nedara.
 
5. Atvasina funkciju un atrod kritiskos punktus:
y=x36x2+9x3=3x212x+93x212x+9=0x24x+3=0x=1,x=3
 
\(x\)
;1
\(1\)
\((1;3)\)
\(3\)
3;+
fx
\(+\)
\(0\)
\(-\)
\(0\)
\(+\)
\(f(x)\)
aug
max
\((1;1)\)
dilst
min
\((3;-3)\)
aug
 
Nosaka atvasinājuma zīmes intervālos, piemēram no ;1 izvēlamies \(x=0\).
f0=302120+9=9=+
Zīmju noteikšanu intervālos drīkst veikt galvā.
 
Pēc atvasinājuma zīmju maiņas, var secināt, ka \(x=1\) ir maksimuma punkts un  \(x=3\) ir minimuma punkts.
Aprēķina funkcijas ekstrēmus - maksimumu un minimumu:
f1=13612+913=1f3=33632+933=3
 
Koordinātu plaknē atliekam punktus \((1;1)\) un \((3;-3). \)
 
6. Nosaka 2. kārtas atvasinājumu, atrod pārliekuma punktus:
fx=3x212x+9=6x126x12=0x=2
\(x\)
;2
\(2\)
2;+
fx
\(-\)
\(0\)
\(+\)
\(f(x)\)
izliekta
\((2;-1)\)
ieliekta
 
f10=61012=f10=61012=+ 
 
Pēc 2. kārtas atvasinājuma zīmēm, secinām, ka funkcijai ir pārliekuma punkts.
f2=23622+923=1
 
Koordinātu plaknē atliek pārliekuma punktu \((2;-1).\)
  
Izmantojot iegūtos datus, konstruē funkcijas grafiku.
 
Atrod funkcijas vērtības grafika precizēšanai:
f4=43642+943=1f(5)=53652+953=17  
Grafika piemērsy3.png
  
*Informācija skolotājam
Pēc SKOLA2030 paraugprogrammas (51. -55. lpp.) vidusskolā 2. kārtas atvasinājumu nosaka tikai polinomiem.
**Vidusskolēnam nav jāprot noteikt slīpās asimtotas. 
Rekomendācija - konstruēt tādas daļveida  funkcijas, kurām nav pārliekuma punktu un nav slīpo asimptotu.
Piemēram, y=axbcx2;y=axcx2b;y=ax2+bcx2+d;y=ax2bcx2d.
  
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 1. daļa. izm. 171. lpp.