27.
maijā
Eksāmens MATEMĀTIKĀ 9.KLASEI
Trenējies ŠEIT!

Teorija

Par asimptotu sauc taisni, kurai piemīt īpašība: līknes punkta attālums līdz šai taisnei tiecas uz nulli, ja punkts pārvietojas pa līkni uz bezgalību. Grafika asimptotas bieži vien ir koordinātu asis. Tās var noteikt, rēķinot robežu.
Grieķu valodā vārds asymptotos nozīmē "nesakrītošs".
Par funkcijas grafika horizontālo asimptotu sauc \(Ox\) asij paralēlu taisni, kuras vienādojums ir  \(y=b\),  ja limxfx=b.
Par funkcijas grafika vertikālo asimptotu sauc \(Oy\) asij paralēlu taisni, kuras vienādojums ir  \(x=a\),  ja limxafx=.
Noteiksim funkcijas f(x)=1x2 asimptotas.
Aprēķinām funkcijas robežu, kad \(x\) tiecas uz bezgalību:
limx1x2=1=0, pēc definīcijas taisne \(y=0\) ir horizontālā asimptota.
 
Aprēķinām funkcijas robežu, kad \(x\) tiecas uz nulli:
limx01x2=10=, pēc definīcijas taisne \(x=0\) ir funkcijas vertikālā asimptota.
Konstruējot funkcijas f(x)=1x2 grafiku, redzam, ka tiešām koordinātu asis ir šīs funkcijas asimptotas. Grafiks šīm taisnēm bezgalīgi tuvojas, bet nekad nepieskaras un arī nekrusto.
Funkcijasgramīnus2.svg 
Piemērs:
Nosaki  funkcijas f(x)=1x2+3 grafika asimptotas!
Risinājums
Atrodam robežu
limx1x2+3=12+3=1+3=0+3=3
Tātad horizontālā asimptota ir \(y=3.\)
 
Funkcija nav definēta punktā \(x=2\). Noskaidrosim, vai šajā punktā funkcijas robeža ir bezgalība.
 
limx21x2+3=122+3=10+3=+3=
Tātad vertikālā asimptota ir \(x=2\).
 
Attēlā redzams funkcijas f(x)=1x2+3 grafiks.
hiperbola.svg   
 
Vidusskolas standartā nav iekļauta prasme noteikt funkcijas asimptotas. Tomēr šī prasme var atvieglot funkcijas grafika konstruēšanu, tāpēc tā ir piedāvāta SKOLA2030 paraugprogrammā.
Slīpās asimptotas netiek rekomendētas.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 1. daļa. izm. 167- 169. lpp.
https://mape.skola2030.lv/resources/9482