20.
maijā
Eksāmens MATEMĀTIKĀ 12.KLASEI
Trenējies ŠEIT!

Teorija

Ja neizpildās vismaz viens no funkcijas nepārtrauktības nosacījumiem a) vai b), tad funkcija ir pārtraukta punktā \(x_0\) un šādus punktus sauc par funkcijas pārtraukuma punktiem.
 
Atceries!
a) Funkciju \(y=f(x)\) sauc par nepārtrauktu punktā \(x_0\), ja bezgalīgi mazam argumenta pieaugumam atbilst bezgalīgi mazs funkcijas pieaugums, t.i., ja limΔx0Δfx0=0.
b) Funkciju \(y=f(x)\) sauc par nepārtrauktu punktā  \(x_0\), ja ir spēkā vienādība limxx0fx=fx0.
Punktu \(x_0\) sauc par funkcijas \(y=f(x\)) pārtraukuma punktu, ja izpildās vismaz viens no šādiem nosacījumiem:
1) funkcija nav definēta punktā \(x_0\);
 
2) funkcijai punktā \(x_0\) ir definēta, bet vienpusējās robežas nav vienādas: limxx0+0f(x)limxx00f(x);
 
3) funkcijai eksistē robeža, kad xx0, taču tā nav vienāda ar funkcijas vērtību punktā \(x_0\). limxx0fxfx0 jeblimxx0+0f(x)=limxx00f(x)fx0
 
Pārtraukuma punktu \(x_0\) sauc par pirmā veida pārtraukuma punktu, ja šajā punktā eksistē abas vienpusējās robežas un tās ir galīgas.
 
Pirmā veida pārtraukuma punktu \(x_0\) sauc par novēršamu, ja abas vienpusējās robežas ir galīgas un vienādas: limxx0+0f(x)=limxx00f(x).
 
Pārtraukuma punktu \(x_0\) sauc par otrā  veida pārtraukuma punktu, ja vismaz viena no vienpusējām robežām, kad xx0, neeksistē vai ir bezgalīga.
Piemērs:
Pārtraukuma punkts 1 (1).svg
1. zīmējumā funkcijai \(x_0\) ir pārtraukuma punkts, jo funkcija punktā \(x_0\) nav definēta.
Punkts \(x_0\) ir pirmā veida un novēršams pārtraukuma punkts, jo abas vienpusējās robežas ir galīgas un vienādas:
Piemērs:
Pārtraukuma punkts 2.svg
2. zīmējumā funkcijai \(x_0\) ir pārtraukuma punkts, jo vienpusējās robežas nav vienādas: limxx0+0f(x)limxx00f(x).
Tas ir pirmā veida pārtraukuma punkts, jo vienpusējās robežas ir galīgas.
Piemērs:
Pārtraukuma punkts 3.svg
3. zīmējumā funkcijai \(x_0\) ir pārtraukuma punkts, jo funkcijai eksistē robeža, bet limxx0fxfx0. Tas ir pirmā veida, novēršams pārtraukuma punkts, jo vienpusējās robežas ir galīgas un vienādas: limxx0+0f(x)=limxx00f(x).
 
Ja funkcijai punktā \(x=a\) ir pārtraukums, tad, lai noskaidrotu pārtraukuma raksturu, jāatrod funkcijas robeža no kreisās puses un no labās puses, kad xa.
Piemērs:
Noskaidro pārtraukuma punkta veidu funkcijai y=2x32.
Atrisinājums.
Dotā funkcija nav definēta punktā x0=3, tātad tas ir funkcijas pārtraukuma punkts. Lai  noteiktu tā veidu, aprēķina vienpusīgās robežas, kad x3:
limx3+02x32=233+02=2+02=2+0=+
 
limx302x32=23302=202=2+0=+
 
Tā kā abas vienpusējās robežas ir bezgalīgas, punkts x0=3 ir dotās funkcijas otrā veida  pārtraukuma punkts. Otrā veida pārtraukuma punkts nevar būt novēršams.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
I. Volodko. Augstākā matemātika. Rīgas Tehniskā universitāte. Inženiermatemātikas katedra. Lekciju konspekts. 13. nodarbība.
Avots: N. Bogomolovs Matemātikas uzdevumi tehnikumiem. R.: Zvaigzne, 1989. 504 lpp. ISBN 5-405-00028-0. izm.91. lpp
Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 1. daļa. izm. 85.lpp.-86. lpp.