Teorija

Funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu, kad argumenta pieaugums tiecas uz nulli, sauc par funkcijas atvasinājumu.
 
Funkcijas y=f(x) atvasinājumu apzīmē ar vienu no simboliem:
y,fx,dydx,ddxfx.

Funkcijas atvasinājuma atrašanu sauc par funkcijas atvasināšanu vai diferencēšanu.

Lai noteiktu funkcijas atvasinājumu:

1) nosaka argumenta pieaugumam Δx atbilstošo funkcijas pieaugumu Δy=fx+Δxfx

2) sastāda ΔyΔx (funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecību) un vienkāršo to;

3) aprēķina šīs attiecības robežu, kad Δx0.

Kāpēc lieto atvasinājumu?

Pieņemsim, ka materiāls punkts kustas nevienmērīgi pa taisni. Tad, izvēloties kustības taisni par koordinātu asi, punkta stāvokli katrā laika momentā \(t\) raksturo punkta koordināta \(x\) (skat. zīm.).
 
Untitled.png
Funkciju \(x = x(t)\), kas izsaka materiāla punkta koordinātas \(x\) atkarību no laika \(t\), sauc par materiāla punkta kustības likumu. Pieņemsim, ka laikā Δt materiāls punkts veic ceļu  Δx, t.i. laika momentā t+Δt punkta koordināta ir xt+Δx=xt+Δt. Tad punkta vidējo ātrumu var aptuveni aprēķināt pēc formulas

 vvid=ΔxΔt=x(t+Δt)x(t)Δt.

Punkta momentāno ātrumu iegūsim, samazinot laiku Δt līdz nullei, t.i., aprēķinot robežu, kad Δt0. Tātad materiāla punkta momentānais ātrums ir

vmom=limΔt0ΔxΔt=limΔt0xt+Δtx(t)Δt.
 
Faktiski šī formula arī definē funkcijas atvasinājumu. Taču to nodefinēsim patvaļīgai funkcijai y=f(x). Pieņemsim, ka šī funkcija ir definēta kādā punktā x un tā apkārtnē. Izmainīsim x par Δx. Tad funkcija mainās par Δy=fx+Δxfx.
 
Sastādīsim attiecību
ΔyΔx=fx+ΔxfxΔx.
 
Šo attiecību sauc par funkcijas maiņas vidējo ātrumu intervālā x;x+Δx un tā izsaka funkcijas izmaiņu, kas aprēķināta vienai argumenta izmaiņas vienībai.
  
Piemērs:
Noteikt funkcijas y=x3atvasinājumu!
1) noteiksim argumenta pieaugumam Δx atbilstošo funkcijas pieaugumu:
 
Δy=x+Δx3x3=x3+3x2Δx+3xΔx2+Δx3x3=3x2Δx+3xΔx2+Δx3
 
2) noteiksim funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecību:
 
ΔyΔx=3x2Δx+3xΔx2+Δx3Δx=Δx(3x2+3xΔx+Δx2)Δx=3x2+3xΔx+Δx2
 
3) aprēķināsim iegūtās attiecības robežu, kad Δx →0 :

y=limΔx0ΔyΔx=limΔx03x2+3xΔx+Δx2=3x2+3x0+02=3x2

Tātad

x3=3x2

Parasti funkcijas neatvasina pēc definīcijas, jo tas ir sarežģīts un laikietilpīgs process. To dara, izmantojot atvasināšanas formulas:

C=0,kurC=constxα=αxα1

Pārējās atvasināšanas formulas apgūst augstskolā.

Atsauce:
Augstākā matemātika/ Inta Volodko. -Rīga, Zvaigzne ABC, 2007. -293 lpp.