Pirmās pakāpes vienādojumu ar mainīgajiem \(x\) un \(y\), kurā koeficienti \(A\) un \(B\) nav vienlaikus vienādi ar nulli, sauc par taisnes vispārīgo vienādojumu. – vektors, kas perpendikulārs taisnei (taisnes normālvektors).
Pierādīsim, ka katrai taisnei, kas iet caur punktu perpendikulāri vektoram atbilst šāda veida vienādojums.
Pierādījums
Brīvi izvēlēsimies taisni .
Punkts ir taisnes punkts. Vektors ir taisnei perpendikulārs vektors.
Ja \(M\) ir brīvi izvēlēts taisnes punkts (kas nav ), tad vektori un ir perpendikulāri.
Perpendikulāru vektoru skalārais reizinājums ir vienāds ar nulli: .
Ja punktu koordinātas ir un , tad vektora koordinātas ir (no galapunkta koordinātām atņem sākumpunkta koordinātas).
Uzrakstām skalāro reizinājumu ar koordinātām:
jeb
.
Apzīmējot skaitlisko izteiksmi ar \(C\), iegūstam taisnes vispārīgo vienādojumu .
Pierādīsim, ka katram šāda veida vienādojumam atbilst kāda taisne.
Ja dots vienādojums , paņemsim kādu punktu , kura koordinātas ir šī vienādojuma atrisinājums.
Tad jeb un vienādojumu var pārrakstīt kā .
Bet tas, kā iepriekš noskaidrojām, ir vienādojums taisnei, ja dots tās punkts un taisnei perpendikulārs vektors .
Ja dots taisnes punkts un tai perpendikulārs vektors , taisnes vienādojums ir .
Un otrādi – no šāda vienādojuma var iegūt taisnei perpendikulāra vektora koordinātas: .