Summas kvadrāts — teorija. Matemātika, 8. klase.

Reizinot savā starpā divas vienādas iekavas, iegūst šo iekavu kvadrātu:

(⋄) (⋄) = {(⋄)}^{2}

{(a + b) (a + b) = (a + b)}^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Divu skaitļu summas kvadrāts vienāds ar pirmā skaitļa kvadrātu plus divkāršots abu skaitļu reizinājums, plus otrā skaitļa kvadrāts.

Kā šo formulu pamatot?

1. To var demonstrēt, izmantojot kvadrāta laukumu. Ja kvadrāta mala izteikta kā

a + b

, tad laukumu var izteikt kā

{(a + b)}^{2}

Bet ja šo pašu kvadrātu sadala 4 taisnstūros, tad kvadrāta laukumu izsaka šo taisnstūru laukumu summa.

Izpēti zīmējumu un iegūsi pamatojumu summas kvadrāta formulai!

2. Formulu var pierādīt, izpildot binoma reizināšanu ar binomu - iekavas reizina ar iekavām.

\begin{array}{l} {(a + b)}^{2} = (a + b) \cdot (a + b) = \\ = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = \\ = a^{2} + \underline{ab} + \underline{ba} + b^{2} = \\ = a^{2} + 2 ab + b^{2} \end{array}

Ja dots binoma kvadrāts, to var vienkāršot, lietojot formulu vai atverot iekavas. Izmanto to veidu, kurš tev labāk patīk vai liekas vienkāršāks!

Piemērs:

Formulas pielietojums:

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

\begin{array}{l} {(x + 4)}^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2} = \\ = x^{2} + 8x + 16 \end{array}

\begin{array}{l} {(3 x + y)}^{2} = {(3 x)}^{2} + 2 \cdot 3 x \cdot y + y^{2} = \\ = 9 x^{2} + 6 xy + y^{2} \end{array}

\begin{array}{l} {(2 z + 5)}^{2} = {(2 z)}^{2} + 2 \cdot 2 z \cdot 5 + 5^{2} = \\ = {4 z}^{2} + 20 z + 25 \end{array}

Piemērs:

Iekavu atvēršana bez formulām (reizinot kā polinomus - pirmo iekavu ar otro iekavu)

\begin{array}{l} {(x + 2)}^{2} = (x + 2) \cdot (x + 2) = \\ = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 \cdot x + 2 \cdot 2 = \\ = x^{2} + 2 x + 2 x + 4 = x^{2} + 4 x + 4 \end{array}

\begin{array}{l} {(3 a + b)}^{2} = (3 a + b) \cdot (3 a + b) = \\ = 3 a \cdot 3 a + 3 a \cdot b + b \cdot 3 a + b \cdot b = \\ = 9 a^{2} + 3 ab + 3 ab + b^{2} = \\ = 9 a^{2} + 6 ab + b^{2} \end{array}

\begin{array}{l} {(2 z + 9)}^{2} = (2 z + 9) \cdot (2 z + 9) = \\ = 2 z \cdot 2 z + 2 z \cdot 9 + 9 \cdot 2 z + 9 \cdot 9 = \\ = 4 z^{2} + 18 z + 18 z + 81 = \\ = 4 z^{2} + 36 z + 81 \end{array}

Atradi kļūdu?

2. Summas kvadrāts