24.
maijā
Eksāmens MATEMĀTIKĀ 12. KLASEI
Trenējies ŠEIT!

Teorija

Ir noteikta veida sistēmas, kuras, pēc substitūcijas ieviešanas, tālāk risina ar Vjeta teorēmu.
 
Aplūkosim sistēmu
a+b=5ab=4
 
Protams, sistēmu var risināt ar ievietošanas metodi: no pirmā vienādojuma izsaka vienu nezināmo un ievieto otrajā vienādojumā. Iegūsi kvadrātvienādojumu, kuru var atrisināt ar Vjeta teorēmu.
 
Tomēr ērtāk jau sākumā pieņemt, ka a=t1 un b=t2 ir kāda kvadrātvienādojuma saknes.
 
Tad pēc Vjeta teorēmas
t1+t2=5t1t2=4
Tātad atbilstošais kvadrātvienādojums ir t25t+4=0
un tā saknes ir t1=1 un t2=4.
 
No tā iegūstam, ka a=1b=4a=4b=1
Svarīgi!
Nepazaudē otru atrisinājumu! Ir jāatceras, ka pēc Vjeta teorēmas nav svarīgi, kura sakne ir pirmā, kura ir otrā, līdz ar to uzminētie skaitļi katrs var atbilst gan \(a\) vērtībai, gan \(b\) vērtībai.
Šāda tipa vienādojumu sistēmas var risināt pēc Vjeta teorēmas, pat neuzrakstot atbilstošo kvadrātvienādojumu.
Kvadrātvienādojumu ir vērts rakstīt tikai tad, kad saknes nevar uzminēt un jāizmanto diskriminants un sakņu formulas.
 
Šāda veida sistēmas var iegūt, sākotnēji risinot sistēmas ar logaritmiskajiem vienādojumiem, eksponentvienādojumiem u.c.
 
(Skaties portālā uzdevumus un to atrisinājumus.)