Logaritmisko vienādojumu risināšana, lietojot īpašības

Ja logaritmisko vienādojumu pēc pārveidojumiem ir iespējams izteikt formā

\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x)

, tad zemlogaritma izteiksmes ir vienādas:

f (x) = g (x)

Definīcijas apgabals ir

\{\begin{cases} f (x) > 0 \\ g (x) > 0 \\ a > 0 \\ a \neq 1 \end{cases}

Parasti tie ir pirmās pakāpes vienādojumi attiecībā pret logaritmiem.

Svarīgi!

Neatkarīgi no risinājuma metodes, jebkurā logaritmiskā vienādojumā ir jāuzraksta definīcijas apgabals.

Tālāk rīkoties var divejādi - var atrisināt definīcijas apgabalu vai arī veikt visu iegūto sakņu pārbaudi definīcijas apgabalā.

Ja uzdevumā bāze

a

ir dota kā nemainīgs skaitlis, tad definīcijas apgabalā to var nerakstīt.

Piemērs:

Dots vienādojums

\lg (x - 2) = \lg (4 - x)

Atrisinājums:

\begin{array}{l} x - 2 = 4 - x \\ 2 x = 6 \\ x = 3 \end{array}

Definīcijas apgabals:

\{\begin{cases} x - 2 > 0 \\ 4 - x > 0 \end{cases}

Pārbaude:

\{\begin{cases} 3 - 2 > 0 \\ 4 - 3 > 0 \end{cases}

Tātad sakne

x = 3

ir derīga.

Atbilde:

x = 3

Piemērs:

Dots vienādojums

\lg (1 - 3 x) - \lg 10 = 2 \lg x

Atrisinājums:

\lg (1 - 3 x) - \lg 10 = \lg x^{2}

(lai neveidotos daļa, pārnes mazinātāju uz labo pusi)

\begin{array}{l} \lg (1 - 3 x) = \lg x^{2} + \lg 10 \\ \lg (1 - 3 x) = \lg 10 x^{2} \\ 1 - 3 x = 10 x^{2} \\ 10 x^{2} + 3 x - 1 = 0 \end{array}

x_{1} = \frac{1}{5} x_{2} = - \frac{1}{2}

Definīcijas apgabals:

\{\begin{cases} 1 - 3 x > 0 \\ x > 0 \end{cases}

jeb

\{\begin{cases} x < \frac{1}{3} \\ x > 0 \end{cases}

Pierakstot intervālu formā, tas ir

x \in (0; \frac{1}{3})

Redzams, ka pirmā sakne pieder definīcijas apgabalam, bet otra nepieder.

Atbilde:

x = \frac{1}{5}

Iepriekšējā teorija

Atradi kļūdu?

2. Logaritmisko vienādojumu risināšana, lietojot īpašības