Trijstūra laukums un Hērona formula — teorija. Matemātika, 12. klase.

15. maijs - LATVIEŠU VALODA

EKSĀMENS VIDUSSKOLAI

No pamatskolas ir zināmas šādas trijstūra laukuma formulas:

Taisnleņķa trijstūris	$S = \frac{a \cdot b}{2}$ , kur $a$ un $b$ ir katetes. Protams, taisnleņķa trijstūrim ir spēkā arī tās formulas, kuras der jebkuram trijstūrim.
Vienādmalu (regulārs) trijstūris	$S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ , kur $a$ ir malas garums.
Jebkāds trijstūris	$S_{Δ} = \frac{ab \sin γ}{2} S_{Δ} = \frac{a h_{a}}{2}$ , kur $a$ un $b$ ir trijstūra malas, $γ$ ir malu $a$ un $b$ veidotais leņķis, $h$ ir augstums, kas vilkts pret malu $a$ .

Izmantojot kosinusu teorēmu, var pierādīt laukuma aprēķināšanas formulu, ko sauc par Hērona formulu.

a

b

c

ir trijstūra malas, tad laukums ir

S_{Δ} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

, kur

p

ir pusperimetrs:

p = \frac{a + b + c}{2}

Matemātikas eksāmena formulu lapā var atrast gandrīz visas trijstūra laukuma formulas (izņemot taisnleņķa trijstūra laukumu): Formulas

Piemērs:

Aprēķini laukumu trijstūrim, kura malu garumi ir 17 cm, 39 cm, 44 cm.

Risinājums:

\begin{array}{l} p = \frac{17 + 39 + 44}{2} = 50 \\ S_{Δ} = \sqrt{50 \cdot (50 - 17) \cdot (50 - 39) \cdot (50 - 44)} = \sqrt{50 \cdot 33 \cdot 11 \cdot 6} = \\ = \sqrt{25 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 3} = 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 = 330 ({cm}^{2}) \end{array}

Atbilde: trijstūra laukums ir 330

{cm}^{2}

Svarīgi!

Lai viegli izvilktu sakni no reizinājuma, nevajag visus skaitļus sareizināt, bet tieši pretēji - vajag tos sadalīt reizinātājos.

Atceries:

\sqrt{a \cdot a} = a

Hērona formulu var izmantot trijstūra augstumu aprēķināšanā.

Piemērs:

Aprēķini trijstūra īsāko augstumu, ja tā malas ir 15 cm, 13 cm, 4 cm.

Risinājums:

Lieto divas laukuma formulas:

S_{Δ} = \frac{a h_{a}}{2}

S_{Δ} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

Izmanto faktu, ka trijstūrī īsākais ir tas augstums, kas vilkts pret garāko malu, tātad

a = 15

cm.

S_{Δ} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} = \sqrt{16 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 12} = 24 ({cm}^{2})

Sastāda vienādojumu un atrisina to:

\begin{array}{l} \frac{15 \cdot h}{2} = 24 | \cdot 2 \\ 15 \cdot h = 48 \\ h = \frac{48}{15} = 3, 2 (cm) \end{array}

Atbilde: trijstūra īsākais augstums ir 3,2 cm garš.

Dažreiz Hērona formulu lieto paralelograma laukuma aprēķināšanai - ja dotas tā malas un diagonāle.

Piemērs:

Dots paralelograms ar malu garumiem 17 cm un 39 cm, diagonāles garums ir 44 cm. Aprēķini paralelograma laukumu.

Risinājums:

Diagonāle paralelogramu sadala divos vienādos trijstūros. Izmantosim 1. piemērā iegūto rezultātu:

S_{paralelogramam} = 2 \cdot S_{Δ} = 2 \cdot 330 = 660 ({cm}^{2})

Atbilde: paralelograma laukums ir 660

{cm}^{2}

Interesanti: sengrieķu matemātiķis un mehāniķis Hērons dzīvojis 1. gadsimtā. Hērona darbiem lietišķajā matemātikā ir enciklopēdiska nozīme: vairākas viņa radītās mehāniskās un automātiskās ierīces ietekmējušas Eiropas zinātnes attīstību līdz pat renesanses laikmetam.

(Hērona formulas pierādījumu var atrast 10. klases mācību grāmatā (1) 118. lpp.)

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

11. Trijstūra laukums un Hērona formula

Teorija