Reducēšana uz algebriskiem vienādojumiem — teorija. Matemātika, 12. klase.

Par algebriskiem vienādojumiem var reducēt tādus eksponentvienādojumus, kuros vairākās vietās kā darbības loceklis ir viena un tā pati bāze, kāpināta nezināmā

x

pakāpē, turklāt tā var būt kāpināta kvadrātā, daļas dalītājā u.c.

Tādā gadījumā lieto substitūciju, šo darbības locekli apzīmējot ar jaunu mainīgo.

Piemērs:

1. Atrisināt vienādojumu

4^{x} - 9 \cdot 2^{x} + 8 = 0

Risinājums:

4^{x} = {(2^{2})}^{x} = 2^{2 x} = 2^{x \cdot 2} = {(2^{x})}^{2}

{(2^{x})}^{2} - 9 \cdot 2^{x} + 8 = 0

2^{x} = y > 0

y^{2} - 9 y + 8 = 0

y_{1} = 8

y_{2} = 1

2^{x} = 8

un tātad

x_{1} = 3

2^{x} = 1

, tātad

x_{2} = 0

Piemērs:

2. Atrisināt vienādojumu

\frac{3}{2^{x} + 1} + \frac{5}{2^{x} + 3} = 2

Risinājums:

2^{x} = y > 0

\frac{3}{y + 1} + \frac{5}{y + 3} = 2

{\frac{3}{y + 1}}^{(y + 3} + {\frac{5}{y + 3}}^{(y + 1} - 2^{((y + 1) (y + 3)} = 0

\frac{3 y + 9 + 5 y + 5 - {2 y}^{2} - 8 y - 6}{(y + 1) (y + 3)} = 0

Daļa ir vienāda ar 0, ja tās skaitītājs ir 0, bet saucējs nav 0.

1) Vispirms aplūkojam skaitītāju:

{- 2 y}^{2} + 8 = 0

y^{2} - 4 = 0

y^{2} = 4

y_{1} = - 2; y_{2} = 2

2) Pēc tam saucēja definīcijas apgabalu:

D.A.

(y + 1) (y + 3) \neq 0

y + 1 \neq 0; y + 3 \neq 0

y \neq - 1; y \neq - 3

Tādējādi

2^{x} = - 2

vai

2^{x} = 2

Tā kā

2^{x} > 0

, tad nevar būt, ka

2^{x} = - 2

. Savukārt no vienādības

2^{x} = 2

izriet, ka

x = 1

Piemērs:

3. Atrisināt vienādojumu

2^{1 + x} - 2^{1 - x} = 7, 5

Risinājums:

2^{1} \cdot 2^{x} - 2^{1} \cdot 2^{- x} = 7, 5

2 \cdot 2^{x} - \frac{2}{2^{x}} = 7, 5

2^{x} = y > 0

2 y - \frac{2}{y} = 7,5

(D. A.

y \neq 0

)

{2 y}^{2} - 7,5 y - 2 = 0

y_{1} = 4; y_{2} = - 0,25

Tādējādi

2^{x} = 4

vai

2^{x} = - 0,25

Vienādojuma

2^{x} = 4

sakne ir

x = 2

, bet vienādojumam

2^{x} = - 0,25

nav atrisinājuma, jo

2^{x} > 0

Atsauce:

Rokasgrāmata algebrā vidusskolai/Inese Lude, Silva Januma. -Rīga : Zvaigzne ABC, 2000. -212 lpp. :il. - izmantotā literatūra: 140.-142.lpp.

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamais uzdevums

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

2. Reducēšana uz algebriskiem vienādojumiem

Teorija