29.
aprīlī
Diagnosticējošais darbs MATEMĀTIKĀ 9.KLASEI
Trenējies ŠEIT!

Teorija

Vienādojumam $$\sin x = a$$ eksistē atrisinājums tikai tad, ja $$-1\leq a \leq 1$$ jeb $$|a|\leq 1$$.

Leņķus var izteikt grādos vai radiānos. ($$2\pi$$ atbilst $$360$$ grādiem)

Ja $$\sin x=a$$, tad
$\begin{array}{l}x=\left[\begin{array}{l}\mathrm{arcsin}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}a+2\mathrm{\pi }n\\ \mathrm{\pi }-\mathrm{arcsin}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}a+2\mathrm{\pi }n\end{array}\right\\ \mathrm{kur}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}n\in \mathrm{ℤ}\end{array}$
$n\in \mathrm{ℤ}$ nozīmē, ka $$n$$ vērtības ir visi veselie skaitļi.
Arksinuss no skaitļa $$a$$, ko pieraksta kā $$arcsin$$ $$a$$, ir tas pagrieziena leņķis no intervāla $\left[-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$, kura sinuss ir vienāds ar skaitli $$a$$.
$\mathit{arcsin}\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\mathrm{\pi }}{4},\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\mathit{jo}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\mathit{sin}\frac{\mathrm{\pi }}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\mathit{arcsin}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\mathrm{\pi }}{6},\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\mathit{jo}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\mathit{sin}\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)=-\frac{1}{2}$, ievēro, ka, ņemot vērā arksinusa definīciju, izvēlas negatīvu 4. kvadranta leņķi no intervāla $\left[-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$.
Piemērs:
Atrisini vienādojumu
$\begin{array}{l}\mathrm{sin}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}x=0,2\\ x=\left[\begin{array}{l}\mathrm{arcsin}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}0,2+{360}^{o}n\\ {180}^{o}-\mathrm{arcsin}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}0,2+{360}^{o}n\end{array}\right\\ \phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\mathrm{kur}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}n\in \mathrm{ℤ}\end{array}$
$$\operatorname{arcsin}(-a) = -\operatorname{arcsin}a$$

Ja $$\sin x=-a$$, tad
$\begin{array}{l}x=\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\left[\begin{array}{l}-\mathrm{arcsin}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}a+2\mathrm{\pi }n\\ \mathrm{\pi }+\mathrm{arcsin}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}a+2\mathrm{\pi }n\end{array}\right\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\\ \phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\mathrm{kur}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}n\in \mathrm{ℤ}\end{array}$
Piemērs:
Atrisini vienādojumu
$\begin{array}{l}\mathit{sinx}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ x=\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\left[\begin{array}{l}-\frac{\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi }n\\ \mathrm{\pi }+\frac{\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi }n\end{array}\right\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\phantom{\rule{0.735em}{0ex}}x=\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\left[\begin{array}{l}-\frac{\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi }n\\ \frac{4\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi }n\end{array}\right\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\\ \mathrm{kur}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}n\in \mathrm{ℤ}\end{array}$
Ja skaitlis $$a$$ ir lielāks par $$1$$ vai mazāks par $$-1$$, vienādojumam sakņu nav.
Vienādojumam $$\sin x=\sqrt{7}$$ sakņu nav, jo sinusa funkcijas vērtību apgabals ir $$[-1; 1]$$, bet $$\sqrt{7}>1$$.

Vienādojuma $$sinx=a$$ atrisinājumu var uzrakstīt formā ${\left(-1\right)}^{n}\cdot \mathrm{arcsin}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}a+\mathrm{\pi }n,\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}\mathrm{kur}\phantom{\rule{0.147em}{0ex}}n\in \mathrm{ℤ}$.
Taču šāda atbilde ir grūtāk izprotama un grūtāk redzēt saistību ar trigonometriskajām vērtībām vienības riņķī.

Parasti trigonometriskos pamatvienādojumus risina, izmantojot vienības riņķi.