Vienādojuma sin x=a vispārīgais atrisinājums — teorija. Matemātika, 11. klase.

Vienādojumam \(\sin x = a\) eksistē atrisinājums tikai tad, ja \(-1\leq a \leq 1\) jeb \(|a|\leq 1\).

Leņķus var izteikt grādos vai radiānos. (\(2\pi\) atbilst \(360\) grādiem)

Ja \(\sin x=a\), tad

\begin{array}{l} x = [\begin{array}{l} \arcsin a + 2 π n \\ π - \arcsin a + 2 π n \end{array} \\ kur n \in ℤ \end{array}

n \in ℤ

nozīmē, ka \(n\) vērtības ir visi veselie skaitļi.

Arksinuss no skaitļa \(a\), ko pieraksta kā \(arcsin\) \(a\), ir tas pagrieziena leņķis no intervāla

[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

, kura sinuss ir vienāds ar skaitli \(a\).

\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{π}{4}, jo \sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}

\arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}, jo \sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}

, ievēro, ka, ņemot vērā arksinusa definīciju, izvēlas negatīvu 4. kvadranta leņķi no intervāla

[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

Piemērs:

Atrisini vienādojumu

\begin{array}{l} \sin x = 0, 2 \\ x = [\begin{array}{l} \arcsin 0, 2 + 360^{o} n \\ 180^{o} - \arcsin 0, 2 + 360^{o} n \end{array} \\ kur n \in ℤ \end{array}

\(\operatorname{arcsin}(-a) = -\operatorname{arcsin}a\)

Ja \(\sin x=-a\), tad

\begin{array}{l} x = [\begin{array}{l} - \arcsin a + 2 π n \\ π + \arcsin a + 2 π n \end{array} \\ kur n \in ℤ \end{array}

Piemērs:

Atrisini vienādojumu

\begin{array}{l} sinx = - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ x = [\begin{array}{l} - \frac{π}{3} + 2 π n \\ π + \frac{π}{3} + 2 π n \end{array} x = [\begin{array}{l} - \frac{π}{3} + 2 π n \\ \frac{4 π}{3} + 2 π n \end{array} \\ kur n \in ℤ \end{array}

Ja skaitlis \(a\) ir lielāks par \(1\) vai mazāks par \(-1\), vienādojumam sakņu nav.

Vienādojumam \(\sin x=\sqrt{7}\) sakņu nav, jo sinusa funkcijas vērtību apgabals ir \([-1; 1]\), bet \(\sqrt{7}>1\).

Vienādojuma \(sinx=a\) atrisinājumu var uzrakstīt formā

{(- 1)}^{n} \cdot \arcsin a + π n, kur n \in ℤ

Taču šāda atbilde ir grūtāk izprotama un grūtāk redzēt saistību ar trigonometriskajām vērtībām vienības riņķī.

Parasti trigonometriskos pamatvienādojumus risina, izmantojot vienības riņķi.

Atradi kļūdu?

1. Vienādojuma sin x=a vispārīgais atrisinājums