Ģeometrisko progresiju sauc par bezgalīgi dilstošu, ja tās kvocients \(q\) pēc moduļa ir mazāks par \(1\) (\(|q|<1\)).
Piemēram, kvocients var būt .
Par bezgalīgi dilstošas ģeometriskās progresijas locekļu summu sauc skaitli, uz kuru tiecas šīs progresijas pirmo \(n\) locekļu summa, \(n\) vērtībai neierobežoti palielinoties.
Piemērs:
Riņķa līnijā, kuras rādiuss ir \(10\) cm, ievilkts kvadrāts, kvadrātā ievilkta riņķa līnija utt., iegūstot bezgalīgi daudz kvadrātu un riņķa līniju (skat. zīm.).
Aprēķini visu kvadrātu perimetru summu!
Risinājums:
Pārbauda, vai dota bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija.
Var aprēķināt: ja riņķa līnijas rādiuss ir \(10\) cm, tad ievilktā kvadrāta mala ir cm, nākošā kvadrāta mala ir \(10\) cm, nākošā cm utt.
Kvadrātu perimetri veido virkni:
Redzam, ka
Izmantojam bezgalīgi dilstošas ģeometriskās progresijas summas formulu:
Atbilde: Visu kvadrātu perimetru summa ir cm
Svarīgs bezgalīgi dilstošas ģeometriskās progresijas summas formulas pielietojums ir pāreja no bezgalīgas periodiskas decimāldaļas uz parastu daļu.
Piemērs:
Pārveido skaitli \(0,(17)\) par parastu daļu!
Risinājums:
Šo periodisko decimāldaļskaitli var uzrakstīt kā summu.
\(0,(17)=0,1717171717...=0,17+0,0017+0,000017+...\)
Summas saskaitāmie veido bezgalīgi dilstošu ģeometrisko progresiju, kurā \(q=0,01\), bet pirmais loceklis ir \(0,17\).
Izmanto summas formulu:
Atbilde:
Formulas var atrast matemātikas I formulu lapā: Formulas