Substitūcijas metode, bikvadrātvienādojums — teorija. Matemātika, 10. klase.

Lietojot substitūcijas metodi:

vienādojumā, kādu tā daļu aizvieto ar citu mainīgo (\(a\), \(y\), \(t\), ...)
Ievēro, iepriekšējais nezināmais šajā vienādojumā reizē ar jauno nedrīkst būt;
atrisina jauno vienādojumu;
atgriežas pie apzīmētā un, izmantojot iegūto sakni (saknes), aprēķina doto nezināmo.

Piemērs:

Atrisini vienādojumu

{(2 x - 21)}^{2} - 5 (2 x - 21) + 4 = 0

Šo vienādojumu ir iespējams atrisināt arī bez palīgnezināmā izmantošanas, atverot iekavas utt., taču tad risinājums būs garš un lieliem skaitļiem.

Jāizmanto tas, ka abas iekavas ir vienādas.

Apzīmē

y = 2 x - 21

Iegūst vienkāršu kvadrātvienādojumu un atrisina to, piemēram, izmantojot Vjeta teorēmu:

\begin{array}{l} y^{2} - 5 y + 4 = 0 \\ y_{1} = 4 y_{2} = 1 \end{array}

Atgriežas pie apzīmētā:

1) \(2x - 21 = 4\)
\(2x = 25\)

\(x = 12,5\)

2) \(2x - 21 = 1\)

\(2x = 22\)

\(x = 11\)

Atbilde: \(x_1 = 12,5\); \(x_2 = 11\).

Ar substitūcijas metodi risina bikvadrātvienādojumus:

\begin{array}{l} a x^{4} + b x^{2} + c = 0, a, b, c \in R \\ x^{2} = y \\ a y^{2} + by + c = 0 \end{array}

Bikvadrātvienādojumā vienmēr izmanto substitūciju, ar to iegūstot parasto kvadrātvienādojumu.

Piemērs:

Atrisini vienādojumu:

\begin{array}{l} x^{4} - 13 x^{2} + 12 = 0 \\ y = x^{2} \\ y^{2} - 13 y + 12 = 0 \\ y_{1} = 12 y_{2} = 1 \\ 1) x^{2} = 12 x = \pm \sqrt{12} = \pm 2 \sqrt{3} \\ 2) x^{2} = 1 x = \pm 1 \\ x \in \{- 2 \sqrt{3}; - 1; 2 \sqrt{3}; 1\} \end{array}

Piemērs:

Kādu substitūciju var izmantot šajā vienādojumā? Cenšamies apzīmēt izdevīgi.

\begin{array}{l} \frac{4}{x^{2} + 10} + \frac{5}{x^{2} + 11} = 2 \\ \frac{4}{x^{2} + 10} + \frac{5}{x^{2} + 10 + 1} = 2 \\ x^{2} + 10 = y \\ \frac{4}{y} + \frac{5}{y + 1} = 2 \end{array}

Atradi kļūdu?

3. Substitūcijas metode, bikvadrātvienādojums