Teorija

Aplūkosim piemēru, ar kura palīdzību var veidot izpratni par funkcijas robežu.
 
Dota funkcija y=x23x+2x2+2x3
Ko var pateikt par šo funkciju, pirms konstruēts tās grafiks?
 
Var aprēķināt definīcijas apgabalu.
x2+2x30x3x1
 
Tātad dotās funkcijas definīcijas apgabals ir x;33;11;+.
 
Izmantojot kādu no aplikācijām konstruējam funkcijas y=x23x+2x2+2x3 grafiku.
mansgrafiks.PNG
 
Redzam, kāds ir funkcijas novietojums argumenta \(x=-3\) tuvumā. Skatoties no kreisās puses, funkcijas vērtības kļūst bezgalīgi lielas, bet skatoties no labās puses, funkcijas vērtības kļūst bezgalīgi mazas.
limx30x23x+2x2+2x3=+
 
limx3+0x23x+2x2+2x3=
 
Pieraksts limx30 nozīmē robežu, kad arguments \(x\) tiecas uz \(-3\) no kreisās puses.
 
limx3+0 nozīmē robežu, kad arguments \(x\) tiecas uz \(-3\) no labās puses.
 
Grafikā var redzēt, ka pie argumenta vērtības \(x=1\), kas arī nepieder definīcijas apgabalam, situācija ir cita.
Funkcijas vērtība, ja \(x=1\), ir galīgs skaitlis. Bet kā to iegūt, ja funkcijas vērtību pie \(x=1\) nav iespējams aprēķināt?
y=1231+212+213=00
 
Izmantojot Excel vai parastu kalkulatoru, var aprēķināt funkcijas vērtības tādām \(x\) vērtībām, kas arvien mazāk atšķiras no skaitļa \(1\).
Piemēram, izvēlas \(x=0,9\), \(x=0,99\), \(x=0,9999\)
Eksperimentāli iegūstam skaitli, kas ir tuvu skaitlim \(-0,25\).  Arī šo situāciju var pierakstīt, izmantojot robežas jēdzienu:
limx1x23x+2x2+2x3=14
 
Dotajai funkcijai no grafika var nolasīt arī sekojošas robežas:
limxx23x+2x2+2x3=1limx+x23x+2x2+2x3=1
 
Tātad  \(x\) tuvinot "aizliegtai" vērtībai vai bezgalībai, var iegūt vērtību, kam funkcija tuvojas, bet nesasniedz.
 
No grafika var nolasīt vai skaitliski var demonstrēt, kā veidojas robeža, bet tas nav pierādījums.
Robežu aprēķināšanu mācīsimies šajā tēmā tālāk.
 
Līdzīgas situācijas var apskatīt arī nākošā piemērā.
 
Dots funkcijas y=x24x+3x2+x2 grafiks. Kādas robežas ir jēga aplūkot un cik ir to vērtība?
tomagrafiks.PNG
 
Atsauce:
 
Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs
Materiālu sagatavoja  Laima Baltiņa, Mg. math,. Jelgavas Tehnoloģiju vidusskolas matemātikas skolotāja