Teorija

Ja funkcija ir definēta intervālā a;+, tad var pētīt funkcijas izturēšanos, argumenta vērtībām neierobežoti palielinoties, t.i., kad x+. Pieņemsim, ka argumenta vērtībām neierobežoti palielinoties, funkcijas vērtības arvien vairāk atšķiras no skaitļa \(A\), t.i. fxA, ja x+. Tas nozīmē, ka starpības modulis fxA ir mazāks par jebkuru pozitīvu skaitli ϵ, ja vien argumenta \(x\) vērtības ir pietiekami lieli skaitļi. Šādā gadījumā raksta: limf(x)x+=A. Lasa - "funkcijas \(f(x)\) robeža, \(x\) tiecoties uz bezgalību, ir skaitlis \(A\)".
Skaitli A sauc par funkcijas \(f(x)\) robežu, kad x+, ja katram pozitīvam skaitlim ϵ var atrast tādu pozitīvu skaitli N, ka ar visām tām \(x\) vērtībām, kas lielākas nekā \(N\), ir spēkā nevienādība f(x)A<ϵ.
Lietojot matemātiskās loģikas simbolus, definīciju var pierakstīt saīsināti:
limf(x)x+=Aϵ>0N>0, ka x>N, ir f(x)A<ϵ.
Tas nozīmē, ka jebkurā pēc patikas mazā ap skaitli \(A\) konstruētā intervālā, būs iespējams atrast tik lielu \(x\), ka tā funkcijas vērtība atradīsies šajā intervālā.
 
Analogi saprot jēdzienu  limf(x)x=A.
Ja funkcija ir definēta intervālā ;+ un limf(x)x+=limf(x)x=A, tad robežas pieraksta simbola "" priekšā neliek nekādu zīmi, un raksta limf(x)x=A.
 
pic1 (3).png
 
Vidusskolas standartā ir prasība pierādīt robežas eksistenci ar robežas definīciju.
Piemērs:
Lietojot funkcijas robežas definīciju, pierādi, ka limx3x+4x=3
ϵ>0,N>0:x>N3x+4x3<ϵ3x+43xx<ϵ4x<ϵ4x<ϵ1x<ϵ4x>4ϵ
Redzam, ka jebkuram ϵ eksistē atbilstošs N, kur N=4ϵ.
Līdz ar to ir pierādīts, ka
ϵ>0,N>0:x>N=4ϵ3x+4x3<ϵ
Tātad limx3x+4x=3.
 
Atsauce:
Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai 1. daļa. Zvaigzne ABC. 53. - 56. lpp.
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, Jelgavas Tehnoloģiju vidusskolas matemātikas skolotāja