4. Bezgalīgi lielas funkcijas robežas definīcija

Praksē bieži lieto funkcijas, kuru vērtību modulis neierobežoti palielinās, kad $x\to a$, t.i. šīs vērtības pēc moduļa kļūst lielākas par jebkuru pozitīvu skaitli. Piemēram, $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$. Šādos gadījumos saka, ka funkcija ir "bezgalīgi liela" vai arī, ka "funkcijas robeža ir bezgalība", un raksta $\underset{x\to a}{\mathit{limf}(x)}=\mathrm{\infty }$.

Lasa - "funkcijas \(f(x)\) robeža, \(x\) tiecoties uz skaitli \(a\), ir bezgalība".

Lietojot matemātiskās loģikas simbolus, definīciju var pierakstīt saīsināti:

Tas nozīmē, ka jebkuram pēc patikas lielam skaitlim \(M\) būs konstruējams intervāls ap skaitli \(a\), no kura ņemts arguments dos vēl lielāku funkcijas vērtības moduli par \(M\).

 

Dažkārt simbola $\mathrm{\infty }$ priekšā raksta plusa vai mīnusa zīmi. Ja funkcija ir bezgalīgi liela un kādā punkta \(a\) apkārtnē funkcijai ir tikai pozitīvas vērtības, tad raksta $\underset{x\to a}{\mathit{limf}(x)}=+\mathrm{\infty }$. Analogi saprot pierakstu $\underset{x\to a}{\mathit{limf}(x)}=-\mathrm{\infty }$.

Konstruējot bezgalīgi lielas funkcijas grafiku, ir lietderīgi caur punktu a novilkt \(Oy\) asij paralēlu taisni. Šādu taisni sauc par funkcijas grafika vertikālo asimptotu.

 

 

Simbolu nozīme:

 $\forall$ - "katram" (universiālkvantors),

 $\exists$ - "eksistē" (eksistences kvantors).

 

Vidusskolas standartā ir prasība pierādīt robežas eksistenci ar robežas definīciju.

 

Redzam, ka esam atraduši \(M\) atbilstošu $\mathrm{\delta }=\frac{3}{M}$.

Līdz ar to ir pierādīts, ka 

Tātad $\underset{x\to 4}{\mathit{lim}}\left(\frac{3}{x-4}\right)=\mathrm{\infty }$.