5. Funkcijas robežas definīcija, kad x tiecas uz bezgalību, bet funkcija uz skaitli A

Ja funkcija ir definēta intervālā $\left(a;+\mathrm{\infty }\right)$, tad var pētīt funkcijas izturēšanos, argumenta vērtībām neierobežoti palielinoties, t.i., kad $x\to +\mathrm{\infty }$. Pieņemsim, ka argumenta vērtībām neierobežoti palielinoties, funkcijas vērtības arvien mazāk atšķiras no skaitļa \(A\), t.i. $f\left(x\right)\to A$, ja $x\to +\mathrm{\infty }$. Tas nozīmē, ka starpības modulis $f\left(x\right)-A$ ir mazāks par jebkuru pozitīvu skaitli $\mathrm{ϵ}$, ja vien argumenta \(x\) vērtības ir pietiekami lieli skaitļi. Šādā gadījumā raksta: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\mathit{limf}(x)}=A$. Lasa - "funkcijas \(f(x)\) robeža, \(x\) tiecoties uz bezgalību, ir skaitlis \(A\)".

Lietojot matemātiskās loģikas simbolus, definīciju var pierakstīt saīsināti:

Tas nozīmē, ka jebkurā pēc patikas mazā ap skaitli \(A\) konstruētā intervālā, būs iespējams atrast tik lielu \(x\), ka tā funkcijas vērtība atradīsies šajā intervālā.

 

Analogi saprot jēdzienu  $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\mathit{limf}(x)}=A$.

Ja funkcija ir definēta intervālā $\left(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)$ un $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\mathit{limf}(x)}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\mathit{limf}(x)}=A$, tad robežas pieraksta simbola "$\mathrm{\infty }$" priekšā neliek nekādu zīmi, un raksta $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\mathit{limf}(x)}=A$.

 

 

Vidusskolas standartā ir prasība pierādīt robežas eksistenci ar robežas definīciju.

Redzam, ka jebkuram $\mathrm{ϵ}$ eksistē atbilstošs $N$, kur $N=\frac{4}{\mathrm{ϵ}}$.

Līdz ar to ir pierādīts, ka

Tātad $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\mathit{lim}}\left(\frac{3x+4}{x}\right)=3$.