Teorija

Aplūkosim reālo skaitļu kopā vai arī kādā intervālā definētu funkciju \(f(x\)). Definēsim šīs funkcijas robežu limf(x)xa=A. Lasa - "funkcijas \(f(x)\) robeža, \(x\) tiecoties uz skaitli \(a\), ir skaitlis \(A\)".
Skaitli A sauc par funkcijas \(f(x)\) robežu, kad xa, ja katram pozitīvam skaitlim ϵ var atrast tādu pozitīvu skaitli δ, ka ar visām tām \(x\) vērtībām, kurām 0<xa<δ, ir spēkā nevienādība f(x)A<ϵ.
Lietojot matemātiskās loģikas simbolus, definīciju var pierakstīt saīsināti:
limf(x)xa=Aϵ>0δ>0, ka x, kuriem 0<xa<δ, ir f(x)A<ϵ.
Tas nozīmē, ka jebkurā pēc patikas mazā ap skaitli \(A\) konstruētā intervālā vienmēr atradīsies kāda funkcijas vērtība, kuras atbilstošais arguments iegūts ap skaitli \(a\) konstruētā intervālā.
 
pic3.svg
 
Simbolu nozīme:
  - "katram" (universiālkvantors),
  - "eksistē" (eksistences kvantors).
Grieķu alfabēta burti: ϵ - epsilons; δ - delta.
 
Vidusskolas standartā ir prasība pierādīt robežas eksistenci ar robežas definīciju.
Piemērs:
Aprēķini limx3x3+4 un pierādi, ka iegūtā vērtība ir funkcijas robeža, izmantojot funkcijas robežas definīciju.
Redzam, ka \(x\) vietā ievietojot skaitli \(3\), robežas vērtība ir \(5\).
limx3x3+4=33+4=1+4=5
 
Saskaņā ar robežas definīciju ir jāpierāda, ka
ϵ>0,δ>0:0<x3<δx3+45<ϵ
Lai pēc brīvi izvēlēta ϵ atrastu vajadzīgo skaitli δ, pēdējā nevienādība ir jāatrisina attiecībā pret \(|x-3|.\)
x3+45<ϵx31<ϵx33<ϵx33<ϵx3<3ϵ
 
Redzam, ka δ=3ϵ.
Līdz ar to ir pierādīts, ka
ϵ>0,δ>0:0<x3<δ=3ϵx3+45<ϵ
Tātad limx3x3+4=5.
 
Ko tas nozīmē?
Mēs pierādījām, ka jebkuram ϵ eksistē atbilstoša δ.
Katram intervāla platumam uz \(y\) ass ar ϵ ir atbilstošs intervāla garums uz \(x\) ass ar δ.
Piemēram, ja mēs izvēlētos ϵ\(=0,01\), tad mēs uz \(y\) ass aplūkotu intervālu y4,99;5,01.
Mēs pierādījām, ka eksistē δ = 3ϵ, kas noteiks atbilstošu intervālu uz \(x\) ass x2,97;3,03. Šajā intervālā noteikti atradīsies tāds \(x\), kuram funkcijas vērtība \(f(x)\) atradīsies \(y\) intervālā.
Lai kādu ϵ izvēlas, ir iespējams uzkonstruēt \(x\) intervālu, no kura var paņemt \(x\) un uzkonstuēt \(f(x)\)
vērtību y intervālā.
Atsauce:
 
Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai 1. daļa. Zvaigzne ABC. 53. - 56. lpp.
Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, Jelgavas Tehnoloģiju vidusskolas matemātikas skolotāja